この問題、背理法以外でいけませんか？nは自然数です。

恐縮ですが、頭が硬くて理解ができないためもう少し柔らかめにすることは可能でしょうか？

数列$b_n=a_{n+1}-\dfrac{1}{2}a_n$としたとき、任意の$i$で$b_i\lt0$ですよね？

そして$b_n$は単調増加かつ$b_n\to0$だから、例えば$y=f(x)=-\dfrac{1}{x}$のような形をしているわけです。

このとき$b_k\gt-p$となる$k$の存在が言えればよいのですが。

上で上げた関数を例にすれば

$p=2$のとき$f(1)\gt-2$

$p=0.3$のとき$f(4)\gt-0.3$

$p=0.001$のとき$f(1001)\gt-0.001$

ですよね。

このように考えれば、どんな$p$であっても下からどんどん$-p$に近づいていって、その後必ず$b_k\gt-p$となる$k$は存在しますよ、ということです。

以前に少しお話した極限の定義は覚えているでしょうか。

数列$\{a_n\}$が$a$に収束するとは

任意の$\epsilon\gt0$に対し自然数$N$が存在して、$n\gt N$のとき

$$|a_n-a|\lt\epsilon$$

が成り立つことである。

この定義に戻って考えてみましょう。

$b_n$が0に収束するので、

任意の$\epsilon\gt0$に対し自然数$N$が存在して、$n\gt N$のとき

$$|b_n|\lt\epsilon$$

です。$b_n\gt0$なので絶対値を外せば

$$-b_n\lt\epsilon$$

つまり

$$b_n\gt-\epsilon$$

ですから、$\epsilon=\dfrac{1}{2}p$とでもしてやれば

$$b_n\gt-\epsilon=-\dfrac{1}{2}p\gt-p$$

となります。

(続く)

よって

「数列$\{b_n\}$が$0$に収束するので

$\epsilon=\dfrac{1}{2}p\gt0$に対し自然数$N$が存在して、$n\gt N$のとき

$$b_n\gt-\dfrac{1}{2}p\gt-p$$

が成り立つ。」

ことがいえる。

というのが理論的な考え方です。