1992年京大物理の問題で、疑問があります。この問題では円管の断面積をAとしています。なので中の圧力によりボールにかかる力としては、p✖️Aではだめなはずです。(実際計算するとp✖️2Aです)、理由はボールの表面積はAではないからです。でもこの計算で行くと比熱比がずれます。どうしてなのでしょうか。模範解答はp✖️Aでやっています。

今回、圧力の効果が縦方向のみに制限されることに注意するべきです。

本問では圧力は球表面に直交する向きに大きさ$p$で入っている筈ですから、この圧力を縦方向に直してあげる必要があります。直感的には、この時点で圧力の効果は結局円の断面積分しかかからなそうだなと予想できます。

定量的な計算を望む場合は、以下のサイトを読んだうえでもう一度考えてみると良いでしょう。その上で分からなければまた聞いてください。とはいえ、高校生に定量計算をさせたいわけではないとは思います。

https://science.shinshu-u.ac.jp/~tiiyama/?page_id=4311

球座標の気持ちがくわしく与えられています。体積積分については直感的な描像が与えられています。

https://physics-school.com/polar-integral/

易しい具体例とともに理解できるサイトです。また図がきれいで分かりやすいです。

https://eman-physics.net/math/calculus04.html

（大学以降の）物理でよく使う座標系について丁寧にまとまっているサイトです。大学で物理をやっている人ならまず読んでいるサイトだと思います。

http://www.iwata-system-support.com/CAE_HomePage/vector/differential17/differential17.html

表面積分について簡潔に示されているサイトです。

他の科目の勉強もあるでしょうから、息抜き程度に読んでみてください。