理論物理への道標に意味不明な問題がありました。(4)です。

問題文がややこしく書かれていますが、要は「系の特徴から全体の比熱を求めるのが困難だが、自由電子の運動を気体分子運動論と近似すればそこから『自由電子による』比熱を概算できるのではないか？」ということです。したがって、気体分子運動論から出発してモル比熱（のようなもの）を計算すれば良いわけです。

さて、気体分子運動論の議論から

$$p=\frac{Nmv^2}{3V}$$

が分かっています。ここで、$N$は分子の個数であることに注意してください。

今回はモル比熱を計算したいわけなので、1molの状態を考えればよいでしょう。この時の理想気体の状態方程式は

$$pV=RT$$

となります。気体分子運動論の議論より導いた式を適応すれば

$$\frac{Nmv^2}{3}=RT$$

となります。これより全分子のエネルギーを計算すれば

$$E=N\times \frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}RT$$

となります。ところで、モル比熱とは1molの物体を1K温めるのに必要なエネルギーのことでしたから、これは

$$c=\frac{dE}{dT}=\frac{3}{2}R$$

と得ることが出来ます。この問題ではこれを求めてほしかったわけですね。

受験的な目線で、使っている知識自体は持っておくべきかと思います。ただ、この様な問われ方をしたときに答えられないとまずいかと言われると微妙です。例えば、

「金属内の自由電子の振る舞いを単原子分子の気体分子運動論と同じ振る舞いであると近似する。このときの自由電子の運動エネルギーの表式を導き、比熱を求めよ。ただし金属は1molであるとする。」

と書かれたのであれば、出来た方がいいかなと思います。