大至急解説頼みます

$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$ より、仮に定義域がすべての実数であれば、$x=2$ で最小値 $y=-1$ をとります。

軸 $x=2$ から離れれば離れるほど関数の値は大きくなるため、定義域の端と軸がどのような位置関係になっているかを考えます。

最も分かりやすいのは、定義域の中に軸が含まれている場合、つまり $a\leqq 2\leqq a+1 \iff 1\leqq a\leqq 2$ のときは、

$x=2$ で最小値 $-1$ をとります。

続いて、軸が定義域の右側にある場合を考えましょう。$a+1<2 \iff a<1$ のときは、定義域の最も軸に近い位置、すなわち $x=a+1$ で最小値 $y=a^2-2a+4$ をとります。

逆に、軸が定義域の左側にある場合では、$a>2$ であり、定義域の最も軸に近い位置、すなわち $x=a$ で最小値 $y=a^2-4a+3$ をとります。

このように、軸と定義域の位置関係を考えれば難しくありませんね。

最大値を求めるとき、上に凸なグラフのときでも同様に考えれば大丈夫です。