この写真について質問です

もし仮に開区間 $(0,\pi)$ でのみ連続な関数を考えると、たとえば次のようなものが考えられます。

$$f(x)=\begin{cases}1 \quad(0\leqq x < \pi) \\-1 \quad(x=\pi)\end{cases}$$

$f(x)$ はたしかに開区間 $(0,\pi)$ で連続であり、$f(0)=1>0,f(\pi)=-1<0$ ですが、$0<x<\pi$ の範囲に方程式 $f(x)=0$ の実数解をもちません。

そのため、閉区間 $[0,\pi]$ で連続であることを示す必要があります。