$$x^2+x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})$$

　与えられた関数を $f(x)$ として、方程式

$$\begin{align} f'(x) = 2x + \frac{x}{2\sqrt{1 + x}} - \frac{x}{2\sqrt{1 - x}} + \sqrt{1 + x} +\sqrt{1 - x} = 0\end{align}$$

の根を $x \in (-1,1)$ の範囲で求めます。

　$y = \sqrt{1 + x},\ z = \sqrt{1 - x}$ とおくと、$(1)$ を $x \in (-1,1)$ の範囲で解くことは、連立方程式

$$\begin{align} y^2 + z^2 &= 2 \\ y^2 - z^2 + \frac{y^2 - z^2}{2y} - \frac{y^2 - z^2}{2z} + y + z &= 0 \end{align}$$

を $y,z \in (0,\sqrt{2})$ の範囲で解くことに同じです。

　$(3)$ を整理して、

$$\begin{aligned} (y + z)\left\{(y - z)\left(1 - \frac{y - z}{4yz}\right) + 1\right\} &= 0\end{aligned}$$

$y + z > 0$ なので、

$$\begin{aligned} (y - z)\left(1 - \frac{y - z}{4yz}\right) + 1 &= 0 \\\end{aligned}$$

$u = y - z,\ v = yz$ とおき整理して、

$$\begin{aligned} u - \frac{u^2}{4v} + 1 &= 0\end{aligned}$$

$u^2 = (y^2 + z^2) - 2yz = 2 - 2v$ なので、

$$\begin{aligned} u - \frac{2 - 2v}{4v} + 1 &= 0 \\ u &= \frac{1}{2v} - \frac{3}{2} \\ 2 - 2v &= \left(\frac{1}{2v} - \frac{3}{2}\right)^2\end{aligned}$$

両辺に $v^2$ を乗じて整理し、

$$\begin{aligned} 8v^3 + v^2 - 6v + 1 &= 0 \\ (v + 1)(8v^2 - 7v + 1) &= 0 \\ v &= -1,\ \frac{7 \pm \sqrt{17}}{16}\end{aligned}$$

ところが $v > 0$ より $v = -1$ は解として不適。これで $v$ が求まったので、$2u = 1/v - 3$ と、$(y + z)^2 - 2v = 2,\ y + z > 0$ とから、

$$\begin{aligned} (u,\ y + z) &= \left(\frac{1 \mp \sqrt{17}}{4}, \sqrt{\frac{23 \pm \sqrt{17}}{8}}\right) && (複号同順)\end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{align} x = \frac{u(y + z)}{2} = -\sqrt{\frac{95 - 7\sqrt{17}}{128}}, \sqrt{\frac{95 + 7\sqrt{17}}{128}}\end{align}$$

　$(4)$ のうち負の根を $x_0$、正の根を $x_1$ とします。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -1 + 0} f'(x) &= -\infty < 0, & f'(0) &= 2 > 0, & \lim_{x \to 1 - 0} f'(x) &= -\infty < 0\end{aligned}$$

であること、および $f'(x)$ が連続であることから、$f'(x)$ は $(x_0,x_1)$ 全域で正値を、$(-1,x_0) \cup (x_1,1)$ 全域で負値をとることが分かります。これで $f(x)$ の増減の様子が分かり、$f(x)$ は $x_0$ で最小値、$x_1$ で最大値をとることが言えます。

　あとは $f(x_1)$ を計算するだけですが、$f(x)$ の定義式へ機械的に $x_1$ を代入すると計算が煩くなるので、

$$\begin{aligned} f(x) &= x^2 + x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}) \\ &= x^2 + \frac{y^2 - z^2}{2}(y + z) = x^2 + \frac{1}{2}u(2 + 2v)\end{aligned}$$

に注意して計算し求める最大値を得ます：

$$\begin{aligned} f(x_1) &= \frac{107 + 51\sqrt{17}}{128}\end{aligned}$$