ベクトルの問題です。

$\triangle \mathrm{ABC}$ と $\triangle \mathrm{ACP}$ をそれぞれ辺 $\mathrm{AC}$ を底辺と見ると、面積比は高さの比、つまり点 $\mathrm{B}$ と点 $\mathrm{P}$ からそれぞれ辺 $\mathrm{AC}$ に下ろした垂線の長さの比です。

ここで、$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{a}{1+a+b}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{b}{1+a+b}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$ なので、点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{AC}$ から $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 側に $\dfrac{a}{1+a+b}$ だけ離れていると考えることができます。

同様に、点 $\mathrm{B}$ は辺 $\mathrm{AC}$ から $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 側に $1$ だけ離れていると考えられます。

よって、その面積比は

$$\triangle \mathrm{ABC} : \triangle \mathrm{ACP}=1:\dfrac{a}{1+a+b}$$

となります。

この考え方は、斜交座標という概念を理解すれば納得できると思います。

普段考えている座標系は $x$ 軸と $y$ 軸の直交座標系ですが、この問題では $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の方向への軸を考えるということですね。

点 $\mathrm{B} (1,0)$ であり、点 $\mathrm{P} (\dfrac{a}{1+a+b},\dfrac{b}{1+a+b})$ であるということです。

したがって、辺 $\mathrm{AC}$ からの距離の比が分かりますね。