fxが増加するならば、f’xが正であるのが偽なのはなぜですか

　多分、「ある区間で微分係数がいたるところ正ならば関数は単調に増加しているといえるのに、その逆が成り立たないのはなぜか」という疑問でしょうか？ 単調増加でありながら微分係数が必ずしも正でない例を下にあげてみます。

【例1】 $f(x) = x^3$ は実数全域で単調に増加する。しかし $x = 0$ の付近では増減の勢いが非常に緩やかになる。その勢いは限りなく緩やかになるので、$x = 0$ での微分係数は $f'(0) = 0$ である。

【例2】 $f(x) = x - \sin x$ は実数全域で単調に増加する。しかし $x = 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \cdots$ の付近では増減の勢いが限りなく緩やかになる。それゆえ、$x = 2n\pi$（$n$ は整数）での微分係数は、$f'(2n\pi) = 0$ である。

　$f(x)$ が単調増加なら、ある正の幅をもつ区間において微分係数がいたるところ $0$ になるということはありえません。もしそうなったとしたら、その区間において $f(x)$ は定数関数ということになり、単調増加性と矛盾するからです。しかし、区間の幅が $0$、つまり一点においてなら微分係数が $0$ になっても矛盾しません。上の $f(x) = x^3$ の例では $x = 0$ がその具体例になっており、$f(x) = x - \sin x$ の例では $x = 2n\pi$ が具体例になっています。

　ある区間で単調増加ではあっても、ところどころにそういう孤立した例外点が存在しうるので、逆は成り立たないということになります。