この群数列の(1)について。

あ、質問わかりにくくてすみません。実際私がテストで書いた回答は右写真の階差数列のやつです。

本来(オーソドックス)のやり方ならk-1群までの項数に足す1したものをもとの数列の一般項に代入、というふうに求めるのですが、

テスト中何を思ったのか別の方法で解きたくなり各群の初項を集めて階差数列をつくった所存であります。

まちがっているでしょうか？

前提として「第$k$群には$k$個の項がある」ということを認めたうえで解きますが、各群の初項だけの数列から出すやり方も、ひとつ前までの個数+1項を出すやり方も、どちらも同じものです。

先生の話では、自分の決めたやり方しか認めない、と言っているように思えます。

右写真の階差数列$\{b_n\}$は、第$(n+1)$群と第$n$群の初項の差です。

つまり第$k$群の項が$k$個であれば必ずになります。

これは予想ではなく自明です。証明は不要です。