回答締め切り

レプユニット数の証明の件ですが、『………さらに p が 3 の倍数でないなら

10 ^p-1-1/9がpの倍数である』というところがどうしても分かりません。


詳しい説明をいただけませんでしょうか。

回答(2件)

この回答は削除されました。

合同式の性質から

abac (mod n)ab\equiv ac\ (\bmod\ n)

このとき、aannが互いに素であるならば両辺aaで割れて

bc (mod n)b\equiv c\ (\bmod\ n)

が言える。


質問について、フェルマーの小定理から

10p110 (modp)10^{p-1}-1\equiv0\ (\bmod p)

である。よって、ppが9の倍数でない=ppと9が互いに素であるとき

10p1190 (modp)\dfrac{10^{p-1}-1}{9}\equiv0\ (\bmod p)

から、10p119\dfrac{10^{p-1}-1}{9}ppの倍数である。


ここで、ppは素数であるから、「ppと9が互いに素」=「ppは3の倍数でない」である。


以上。


あと、数式を書くときは()使ってどこが指数なのか、どこが分子なのかなどをわかるようにしてもらえると回答者が見やすくて良いです。


{10^(p-1)-1}/9


こんな感じ。


返信(2件)

詳しい解説、ありがとうございました。


追加で質問です。


最終的に2と5以外の任意の素数 pに対して成り立つと記載がありますが


そのあたりが良く分かりません。


まず、なぜ2と5はNGなのか?


10と互いに素ではないからでしょうか? でしたら12もダメなのか?


他に3については別途検討する理由も分かりません。


すいませんがご教授頂けると幸いです。


以上よろしくお願い致します

新しい質問のほうに合わせて回答しましたので、そちらを確認してください。

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