レプユニット数の証明の件ですが、『………さらに p が 3 の倍数でないなら

合同式の性質から

$$ab\equiv ac\ (\bmod\ n)$$

このとき、$a$と$n$が互いに素であるならば両辺$a$で割れて

$$b\equiv c\ (\bmod\ n)$$

が言える。

質問について、フェルマーの小定理から

$$10^{p-1}-1\equiv0\ (\bmod p)$$

である。よって、$p$が9の倍数でない＝$p$と9が互いに素であるとき

$$\dfrac{10^{p-1}-1}{9}\equiv0\ (\bmod p)$$

から、$\dfrac{10^{p-1}-1}{9}$は$p$の倍数である。

ここで、$p$は素数であるから、「$p$と9が互いに素」=「$p$は3の倍数でない」である。

以上。

あと、数式を書くときは()使ってどこが指数なのか、どこが分子なのかなどをわかるようにしてもらえると回答者が見やすくて良いです。

{10^(p-1)-1}/9

こんな感じ。