解決済み

a[n+1]= 3-(1/2)×(a[1]^2+a[2]^2+…+a[n]^2) で

a[1]=2の数列があるとき、

a[2]はいくつか?

また、anをan+1を使って表わせ。


という問題が分かりません。

答えと解き方を教えてください!

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an+1=312(a12+a22++an12+an2)(1)\tag{1}a_{n+1}=3-\frac{1}{2}\left(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2+a_n^2\right)

n=1n=1を代入して

a2=312×22=1a_2=3-\frac{1}{2}\times 2^2=1



また式(1)(1)n=n1n=n-1を代入すれば

an=312(a12+a22++an12)(2)\tag{2}a_{n}=3-\frac{1}{2}\left(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2\right)


よって(2)(1)(2)-(1)より

an+1an=12an2a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{2}a_n^2


したがって

an+1=an(112an)a_{n+1}=a_n\left(1-\frac{1}{2}a_n\right)\square


an=a_n=の形に直す場合は右辺を平方完成してやればいいかと。

返信(3件)

回答ありがとうございます!


右辺をどのようにしたらanの形になりますか?

自分でやってもあまりよく分かりません…。

an+1a_{n+1}n=n1n=n-1を代入すると、an1+1=ana_{n-1+1}=a_nになりますよ。

@Differential そうじゃないよ…


@Atros

最後の式を(3)として、(3)から

an+1=12an2+an=12(an22an)a_{n+1}=-\frac{1}{2}a_n^2+a_n=-\frac{1}{2}\left(a_n^2-2a_n\right)

これを平方完成すれば

an+1=12(an1)2+12a_{n+1}=-\frac{1}{2}(a_n-1)^2+\frac{1}{2}


よって

(an1)2=12an+1(a_n-1)^2=1-2a_{n+1}


また、上の(2)(1)(2)-(1)より

an+1an=12an2<0a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{2}a_n^2\lt0

だから数列an{a_n}は単調減少。

(3)式とa2=1a_2=1から0<an<10\lt a_{n}\lt 1がわかるので、

an=112an+1a_n=1-\sqrt{1-2a_{n+1}}

となるかと思います。計算ミスとかあったらすみません。

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