$$\int sinx cosx \ dx$$

部分積分や置換積分を使います。

$$\int\sin x\cos xdx$$

この場合は$(\sin x)'=\cos x$なので$\sin x=t$とおいてやればすぐです。

教科書レベルなのでヒントだけにしておきます。

$$\int\sin x\log x dx$$

この場合は不定積分できません。

以前質問された三角積分

$$\int\frac{\sin x}{x}dx$$

覚えてますか?あれと同じで

$$\int\frac{\cos x}{x}dx$$

が出てくるので不定積分は不可です。