数学III
複素数の極形式
$$
z = r ( \cos \theta + i \sin \theta)
$$ 偏角
$$
\arg z = \theta + 2 \pi n
$$ ドモアブルの定理
$$
(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta
$$ 1のn乗根
$$
w_k = \cos \left( \dfrac{2 \pi}{n} \times k \right)
+ i \sin \left( \dfrac{2 \pi}{n} \times k \right)
$$ 楕円
$$
\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1
$$ 双曲線
$$
\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1
$$ サイクロイド
$$
\begin{cases}
x = a(\theta - \sin \theta) \\
y = a(1 - \cos \theta)
\end{cases}
$$ 無限数列の極限値
$$
\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha
$$ 無限等比数列の極限
$$
\lim_{n \to \infty} r^n =
\begin{cases}
+ \infty \ (r > 1) \\
1 \ (r = 1) \\
0 \ (|r| < 1) \\
\text{振動} \ (r \leqq 1)
\end{cases}
$$ 収束する無限級数の和
$$
S = \lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n
$$ 発散
$$
\lim_{x \to a} f(x) = + \infty
$$ 片側極限
$$
\lim_{x \to a-0} f(x) = \lim_{x \to a+0} f(x) = \alpha
$$ ネイピア数
$$
e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}}
$$ 積分
$$
\int \tan \theta \ d \theta
= \int \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \, d \theta
= -\log |\cos \theta| + C
$$ 置換積分
$$
\int f(x) \ dx = \int f(g(t)) g'(t) \ dt
$$ 区分求積法
$$
\int_{0}^{1} f(x) \ dx
= \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \left (\dfrac{k}{n} \right)
$$ 回転体の体積
$$
V = \pi \int_{a}^{b} \{ f(x) \}^2 \ dx
$$ 曲線の長さ
$$
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{ f'(x) \}^2} \ dx
$$