数学A

階乗

n!=n(n1)(n2)321n! = n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1

$$ n! = n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 $$

順列

nPr=n(n1)(n2)(nr+1)=n!(nr)!{}_n\mathrm{P}_r = n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) = \dfrac{n!}{(n-r)!}

$$ {}_n\mathrm{P}_r = n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) = \dfrac{n!}{(n-r)!} $$

円順列

(n1)! 通り(n-1)! \ \text{通り}

$$ (n-1)! \ \text{通り} $$

じゅず順列

(n1)!2 通り\dfrac{(n-1)!}{2} \ \text{通り}

$$ \dfrac{(n-1)!}{2} \ \text{通り} $$

組合せ

nCr=nPrr!=n!r!(nr)!{}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}

$$ {}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} $$

組合せの関係式

nCr=nCnr{}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}

$$ {}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r} $$

nCr=n1Cr1+n1Cr{}_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r

$$ {}_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r $$

knCk=nn1Ck1k \cdot {}_n\mathrm{C}_k = n \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}

$$ k \cdot {}_n\mathrm{C}_k = n \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} $$

確率

P(A)=n(A)n(U)P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)}

$$ P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)} $$

余事象

P(A)=1P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A)

$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $$

条件付き確率

PA(B)=P(AB)P(A)P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

$$ P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} $$

合同式

ab(mod m)a \equiv b \quad (\bmod \ m)

$$ a \equiv b \quad (\bmod \ m) $$

フェルマーの小定理

ap11(mod p)a^{p-1} \equiv 1 \quad (\bmod \ p)

$$ a^{p-1} \equiv 1 \quad (\bmod \ p) $$