数学B
等差数列の一般項
$$
a_n = a + (n-1)d
$$ 等差数列の和
$$
S_n = \dfrac{1}{2} n(a + a_n) = \dfrac{1}{2} n \{2a + (n-1)d \}
$$ 等比数列の一般項
$$
a_n = ar^{n-1}
$$ 等比数列の和
$$
S_n =
\begin{cases}
\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}
= \dfrac{a(r^n-1)}{r-1} \quad (r \neq 1 \text{のとき}) \\
na \quad (r = 1 \text{のとき})
\end{cases}
$$ 和の公式
$$
\sum_{k=1}^{n} c = cn
$$ $$
\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{1}{2} n(n+1)
$$ $$
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{1}{6} n(n+1)(2n+1)
$$ $$
\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} = \dfrac{1-r^n}{1-r}
$$ 階差数列
$$
b_n = a_{n+1} - a_{n}
$$ 部分分数
$$
\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}
$$ フィボナッチ数列
$$
a_{n} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \dfrac{ 1 + \sqrt{5} }{2} \right)^{n} - \left( \dfrac{ 1 - \sqrt{5} }{2} \right)^{n} \right]
$$ ベクトル
$$
\overrightarrow{AB}
$$ ベクトルの計算
$$
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} =
\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}
$$ $$
( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ) + \overrightarrow{c} =
\overrightarrow{a} + ( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} )
$$ $$
k( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} )=
k \overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b}
$$ ベクトルの大きさ
$$
|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}
$$ 単位ベクトル
$$
\dfrac{1}{|\overrightarrow{a}|} \overrightarrow{a} =
\left( \dfrac{a_1}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}}, \
\dfrac{a_2}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}} \right)
$$ ベクトルの内積
$$
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}
= |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta
$$ 内積と垂直
$$
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0
\iff
\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}
$$ 内積と成分
$$
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
$$ 三角形の面積
$$
S = \dfrac{1}{2} | a_1 b_2 + a_2 b_1 |
$$ 直線のベクトル方程式
$$
\overrightarrow{p} = (1-t) \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b}
$$ 円のベクトル方程式
$$
|\overrightarrow{p} - \overrightarrow{c}| = r
$$ $$
(\overrightarrow{p} - \overrightarrow{c})
\cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{c})
= r^2
$$