数学I
指数法則
$$
a^m \times a^n = a^{m+n}
$$ $$
(a^m)^n = a^{mn}
$$ $$
(ab)^n = a^{n}b^{n}
$$ 展開公式
$$
(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3
$$ $$
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
$$ 循環小数
$$
0.\dot{5}\dot{6} = 0.56565656 \ldots
$$ $$
0.2\dot{1} = 0.21111111\ldots
$$ $$
0.\dot{4}5\dot{6} = 0.456456456\ldots
$$ 有理化
$$
\dfrac{b}{\sqrt{a}}
= \dfrac{b \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} \\
= \dfrac{b \sqrt{a}}{a}
$$ 根号
$$
\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}
$$ $$
\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}
$$ 一次不等式
$$
|x| = a \iff x = \pm a
$$ $$
|x| < a \iff -a < x < a
$$ $$
|x| > a \iff x < -a, x > a
$$ 平方完成
$$
y = ax^2 + bx + c
= a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a}
$$ 判別式
$$
D^2 = b^2 - 4ac
$$ $$
\begin{cases}
D>0 \iff \text{異なる2つの実数解を持つ} \\
D=0 \iff \text{実数解を1つもつ（重解）} \\
D<0 \iff \text{実数解を持たない（異なる2つの虚数解を持つ）}
\end{cases}
$$ 三角比の変換公式
$$
\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}
$$ $$
\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1
$$ $$
1 + \tan^{2} \theta = \dfrac{1}{\cos^{2} \theta}
$$ 正弦定理
$$
\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R
$$ 余弦定理
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
$$ $$
b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B
$$ $$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
$$ 三角形の面積
$$
S = \dfrac{1}{2} ab \sin \theta
$$ 集合の演算子
$$
a \in A, A \ni a
$$ $$
a \notin A
$$ $$
A \subset B, B \supset A
$$ $$
A \not \subset B
$$ $$
A \cap B
$$ $$
A \cup B
$$ $$
\emptyset
$$ $$
\overline{A}
$$ ドモルガンの法則
$$
\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}
$$ $$
\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}
$$ 和集合の要素の数
$$
n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B \cap C)
$$ $$
n(\overline{A}) = n(U) - n(A)
$$ $$
\begin{aligned}
n(A \cup B \cup C) &= n(A) + n(B) + n(C) \\
&- n(A \cap B) -n(B \cap C) - n(C \cap A) \\
&+ n(A \cap B \cap C)
\end{aligned}
$$ 命題
$$
A \Rightarrow B
$$ $$
A \Leftarrow B
$$ $$
A \iff B
$$ 平均値
$$
\begin{aligned}
\bar{x} &= \dfrac{\sum_{k=1}^{n} x_k}{n} \\
&= \dfrac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n}
\end{aligned}
$$ 中央値
$$
\tilde{x}
= \begin{cases}
x_\frac{n+1}{2} \quad \text{(nが奇数のとき)} \\
\dfrac{x_\frac{n}{2} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} \quad \text{(nが偶数のとき)} \end{cases}
$$ 偏差
$$
x_k-\bar{x}
$$ 分散
$$
S^2 = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (x_k - \bar{x})^{2}
$$ 共分散
$$
S_{xy} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k - \bar{x})(y_k - \bar{y})
$$