数学の質問です。

基本的には、関数$f(x)$（式）⇔グラフの情報

が対応していればどの点でもいいです。

　言い換えると、グラフから読み取れる関数$f(x)$がただ一つに決まるように書き込むと思っていれば良いと思います。

・どんな点の座標を書き込むか？

　グラフを見る側にとって「２次関数$f(x)$」といっている場合、$f(x)=ax^2+bx+c$の$a,b,c$が分かればよいので最低3点の情報があればどの点でもいいということになりますが、頂点ともう1点でも十分なので、「分かりやすい」という点で、特徴的な点（軸との交点や極値、頂点の座標）を書き込むことが多いです。

　それでも足りない場合（交点を持たないなど）比較的$x$が0に近い、もしくは代入して計算しやすい点を書き込むと親切かなと思います。

　変曲点ですが、グラフから元の関数を読み取るだけであれば、変曲点は必要ないと思います。　

・漸近線について

「漸近線と軸の交点が書いてあった」のときの漸近線はもう一方の軸に平行ではなかったですか？

　もしそうだとすると、$y$軸に平行で$x$軸上に1と書いてあったならば「$x+0y=1$の式が書いてあった」と見なせます。（1次関数ではないですが）

ですので、漸近線の式は軸に平行でもそうでなくても「常に書くもの」だと思っておいて良いです。ただし、一方の軸に平行なときは、もう一方の軸との交点を書けば式自体は省略して大丈夫です。

　余談ですが、フリーハンドで書く場合見た目が平行でなくても、$x$軸上に1とだけ書くことで、暗に$x=1$の直線だからね？という気持ちもあるのかなと思っています。なので、1次関数の場合には式をしっかり書いた方が良いと思います。