数学の質問です。

回答ありがとうございます。

もう少し詳しくご説明下さると嬉しいです。

円と直線の場合、$y$を消去した$x$の方程式が実数解を持つ時、その$x$の値に対応する$y$の値が必ず円の方程式の$y$が取り得る範囲内に存在する理由が良く分からないです。

理解力がなくてすみません💦

「代入」という同値変形の正しい書き方はこうです

$F(x,y)=0かつy=f(x)$

$⇔F(x,f(x))=0かつy=f(x)$

「代入」を使う連立方程式の解法を書きます

$F(x,f(x))=0$を解くことで、$x$の解$x=a_1,a_2,\cdots,a_n$が得られたとしましょう

「解く」は同値変形なので

$F(x,y)=0かつy=f(x)$

$⇔F(x,f(x))=0かつy=f(x)$　$(←y=f(x)が直線ならここで消える)$

$⇔(x=a_1またはx=a_2または\cdotsまたはx=a_n)かつy=f(x)$

$⇔(x=a_1かつy=f(x))または\cdotsまたは(x=a_nかつy=f(x))$

$⇔(x=a_1かつy=f(a_1))または\cdotsまたは(x=a_nかつy=f(a_n))$

このように書けます

長くなるので次にします

最後に、なぜ代入先の$y$の範囲は考えなくていいのか、です

よく使っていた「同値でない代入」では$y=f(x)$の情報が消えます。が、$F(x,y)=0$の情報は最後まで残ります。

$F(x,y)=0かつy=f(x)$

$⇒F(x,f(x))=0$

$⇔x=a_1またはx=a_2または\cdotsまたはx=a_n$

$F(x,f(x))=0$の解である時点で、$F(x,f(x))=0$を同値変形したということになりますから、$F(x,f(x))=0$を満たしているかどうかは確認する必要はありません。

連立方程式の解の個数だけを考える問題の場合、$y=f(x)$が直線なら$y=f(x)$の情報が抜け落ちていても、$F(x,f(x))=0$の解の個数とどうせ一致するからいい、ということです