数学の質問です。

ベストアンサー

ontama_udon 2025/1/31

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  kakko_pn 2025/2/1

  回答ありがとうございます。

  
  

  もう少し詳しくご説明下さると嬉しいです。

  円と直線の場合、$y$を消去した$x$の方程式が実数解を持つ時、その$x$の値に対応する$y$の値が必ず円の方程式の$y$が取り得る範囲内に存在する理由が良く分からないです。

  理解力がなくてすみません💦

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  ontama_udon 2025/2/1

  「代入」という同値変形の正しい書き方はこうです

  $F(x,y)=0かつy=f(x)$

  $⇔F(x,f(x))=0かつy=f(x)$

  
  

  「代入」を使う連立方程式の解法を書きます

  $F(x,f(x))=0$を解くことで、$x$の解$x=a_1,a_2,\cdots,a_n$が得られたとしましょう

  
  

  「解く」は同値変形なので

  $F(x,y)=0かつy=f(x)$

  $⇔F(x,f(x))=0かつy=f(x)$　$(←y=f(x)が直線ならここで消える)$

  $⇔(x=a_1またはx=a_2または\cdotsまたはx=a_n)かつy=f(x)$

  $⇔(x=a_1かつy=f(x))または\cdotsまたは(x=a_nかつy=f(x))$

  $⇔(x=a_1かつy=f(a_1))または\cdotsまたは(x=a_nかつy=f(a_n))$

  このように書けます

  
  
  

  長くなるので次にします

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  ontama_udon 2025/2/1

  最後に、なぜ代入先の$y$の範囲は考えなくていいのか、です

  よく使っていた「同値でない代入」では$y=f(x)$の情報が消えます。が、$F(x,y)=0$の情報は最後まで残ります。

  $F(x,y)=0かつy=f(x)$

  $⇒F(x,f(x))=0$

  $⇔x=a_1またはx=a_2または\cdotsまたはx=a_n$

  
  

  $F(x,f(x))=0$の解である時点で、$F(x,f(x))=0$を同値変形したということになりますから、$F(x,f(x))=0$を満たしているかどうかは確認する必要はありません。

  
  

  連立方程式の解の個数だけを考える問題の場合、$y=f(x)$が直線なら$y=f(x)$の情報が抜け落ちていても、$F(x,f(x))=0$の解の個数とどうせ一致するからいい、ということです