[1]
A(1,tanθ) よりr1=tanθである。
線分 OB と y 軸正の向きがなす角は 2π−2θ だから、α=2π−2π−2θ=θ+4πとなる。
(1)
θ=6π のとき、r1=tan6π=33である。
このとき tanα=tan(6π+4π)=2+3 となるから、直線 OB の方程式はy=(2+3)xとなる。
また、r2=33 とすると、点 B の x 座標も 33 だから、B(33,323+1)である。
(2)
C1 と C2 が点 T で外接するとき、点 T において直線 l と接するから、OT=r1=1であり、∠BOT=4π−θである。∠BTO=2π であることに注意すると、BT=OTtan(4π−θ)=1+tanθ1−tanθを得る。したがって、
AB=AT+BT=r1+r2=tanθ+1+tanθ1−tanθ=t+t2−2
となる。0<θ<4π⟺1<t<2 だから、相加平均と相乗平均の大小関係によりt+t2−2≧2t⋅t2−2=22−2であり、等号成立は t=t2⟺t=2 すなわちtanθ=2−1のときである。
[2]
初期状態における食塩の量は、500×0.1=50 [g]であり、そのうち 100 [g] すなわち全体の 51 にあたる量の食塩水を取り出す。つまり、残った食塩の量は50×54=40 [g] である。
濃度が 1% 以下となるときの食塩の量は 5 [g] だから、n 回の操作によって題意の条件が満たされるとき、
(54)n×50≦5⟺22n+1<5n−1であり、両辺の常用対数をとると
(2n+1)log102≦(n−1)log105⟺3nlog102≦n−1⟺n≧10.3⋯となって、求める回数は 11 回である。