数学の質問です。

定義域や値域が限定されている関数などで実数解を考える時は、単に変数などを消してしまうと、その変数の定義域までも消えたりすることがあるので、2次方程式の判別式だけでは条件を満足できないことがあります。

今回の場合だと、$y$に関して言えば、$-\sqrt2≦y≦\sqrt2$という条件が付加されていますので、それも加味してあげないと恐らく解けないと思いました。

もし変数を消去したいのなら、これは私個人の数学における感覚でもあるのですが、もっと厳しい状態にしてあげて、例えば$y$を消去することで四次関数として解釈することで複雑で厳しい条件で、より確度の高い情報が得られるのではないのでしょうか。

(下図はその四次関数をプロットしてみたものです、$x$軸で見ると共有点の数がしっかりと出ているように見えます)

(複素数の範囲で解いた)方程式の解の$y$の値が実数である, という条件しか求められていないからです. 方程式を解いてみると, まず$x$を消去して式を整理すると$2y^2+4y-(4+a)=0$ですから, 判別式を$D$としてこれを解くと

$$y=\frac{-2\pm\sqrt{D/4}}{2}$$

となります. 長いのでプラスの方を$y_0$, マイナスの方を$y_1$とします. 楕円の式に代入して$x$について解くと

$$x=\pm\sqrt{4-2{y_0}^2}\quad \text{(}y=y_0\text{を代入)}\\x=\pm\sqrt{4-2{y_1}^2}\quad \text{(}y=y_1\text{を代入)}$$

となります. したがって方程式の解は

$$(x,y)=(\pm\sqrt{4-2{y_0}^2},y_0),(\pm\sqrt{4-2{y_1}^2},y_1)$$

であることがわかります. (念のため, これらが解であることを確認したほうが安全かもしれません.) 二つの曲線が平面上で交わるというのは, この解の中に$(\text{実数},\text{実数})$のパターンのものが(少なくとも一つ)存在することと同じです.

ここで判別式$D$について考えてみると, $D<0$ならば$y_0,y_1$がともに虚数になりますから, 曲線が平面上で共有点を持たないことがわかります. $D\geqq 0$の場合は$y_0,y_1$がともに実数であることはわかります. しかし$x$に対してはそれが実数であるか虚数であるかはわかりませんから, これだけで曲線が交わるかどうかというのは判定できません. 実際, $a=12$とすると$D\geqq 0$は満たしますが, 解は

$$(x,y) = (\pm\sqrt{-28}, -4),(\pm\sqrt{-4}, 2)$$

となり, 解は$(\text{虚数},\text{実数})$のパターンしか存在しませんから, 曲線は交わらないことがわかります.

交わるための条件を求めたい場合はこの判別式の条件に加えて, 解の$x$の側のうちの少なくとも一方が実数である, すなわち

$$4-2{y_0}^2 \geqq 0 \quad\text{または}\quad 4-2{y_1}^2 \geqq 0$$

という条件を付ければ, これが$(\text{実数},\text{実数})$であるような解が存在するための必要十分条件になります. そのような$a$の範囲を求めれば, 曲線が交わるための$a$の条件がわかるのではないかと思います.

$x^2$ を消去して

$$\begin{aligned} \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 4 \\ 4y = x^2 + a \end{cases} \Longrightarrow 4 - 2y^2 = 4y - a\end{aligned}$$

を導くところに注意がいります。$x^2 = 4 - 2y^2$ は非負ですが，右側の方程式は両辺が負であっても成り立ちます。つまり右側の方程式では，$4 - 2y^2 \geqq 0$，すなわち $y \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ という条件が失われています。

判別式を使うと実直線全体における根の個数を調べることはできますが，区間 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ 上の根の個数を調べることはできません。