数学の質問です。

(比の定義)

$n$個の実数$R_1, R_2 , … , R_n$ と、$n$個の実数$a_1 , a_2 , … , a_n$ が関係式、

$$R_1 : R_2 : 〜 : R_n = a_1 : a_2 : 〜 : a_n$$

を満たすとは、任意の自然数$\ k(k≦n)$について、

$$R_k = a_km　かつ、　a_k = \frac{R_k}{m}$$

を満たす実数$m$が存在し、かつ$m$がただ一つの値に定まるということ。あるいは、

$$\frac{R_1}{a_1} = \frac{R_2}{a_2} = ･･･= \frac{R_n}{a_n} = m$$

かつ、

$$\frac{a_1}{R_1} = \frac{a_2}{R_2} = ･･･= \frac{a_n}{R_n} = \frac{1}{m}$$

となる$m$が存在し、かつ$m$がただ一つの値に定まるということ。□

これが比の定義です。では、この定義に沿って質問を解消していきます。まず、

$$-2:-6:-8 = 1:3:4$$

が成立するかを確かめます。$R_1 , R_2 ,R_3 , a_1 , a_2 , a_3$として代入すると、

$$\begin{gather*}\frac{-2}{1} = \frac{-6}{3} = \frac{-8}{4} = -2\\\\\frac{1}{-2} = \frac{-3}{6} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}\end{gather*}$$

より、$m = -2$と分かるので比の関係式を満たします。次に、

$$a:b = │a│:│b│$$

なのかについて確かめます。成立するには、

$$\begin{gather*}\frac{a}{│a│} = \frac{b}{│b│} = m\\\\\frac{│a│}{a} = \frac{│b│}{b} = \frac{1}{m}\end{gather*}$$

を満たす必要があります。ですがこれは、

$$a > 0 , 0 > b$$

というような符号が異なる場合に、

$$1 = -1 = m1 = - 1 =\frac{1}{m}$$

となるため一般には成立しません。

ちなみに$m \ne 0$の時には一般に、

$$\begin{aligned}R_1 : R_2 : 〜 : R_n &= a_1 : a_2 : 〜 : a_n\\ &= \frac{R_1}{m} : \frac{R_2}{m} : 〜 : \frac{R_n}{m}\end{aligned}$$

です。