この問題が解けません。解法の方針だけでも教えていただけると嬉しいです。帰納法、式変形、いろいろ試しましたがどうもいけませんでした。。。

(1)の雑案です。

まず、帰納的に$\ a_n \geq 0\$が分かります。したがって、相加相乗平均の関係を用いることで0以上の整数$\ n\$に対して$\ a_{n+1}\geq\sqrt{\alpha}$を示すことができます。これを言い換えれば、1以上の整数$\ n\$に対して$\ a_{n}\geq\sqrt{\alpha}$となります。

次に、$\ a_{n}-a_{n+1}\$を考えます。愚直に計算すればよくて

$$\begin{aligned}a_{n}-a_{n+1} &= a_n -\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{\alpha}{a_n}\right)\\&= \frac{1}{2}\left(a_n - \frac{\alpha}{a_n}\right)\\&=\frac{1}{2a_n}({a_n}^2-\alpha)\geq 0\quad(\because a_n \geq \sqrt{\alpha})\end{aligned}$$

となり$\ a_{n}\geq a_{n+1}\$を得ることができ、よって示されました。