• 解決済み

    @Rarara

    2024/2/15 13:40

    1 回答

    以下の総和はどのようにして計算可能でしょうか。。

    wolframも反応してくれず、困っています。

    答えはおそらく下に書いたものです(場合の数的に別の方法で数えた)



    iが1からn-2のときの(jが1からn-i-1のときの(combination (n,i))(combination (n-i,j))の和)の和

    wolframにはこう打ちましたが、combinationとは、、とかの説明をしだすばかりです。。。


    場合の数は、「サイコロをn回振って、出た目が1,2,3のいずれかであり、どの3数も少なくとも一回は出る」です。(1,1,1,2,2,2,2,3)などです。

    1. 高校生
    2. 数学
    3. 数学Ⅱ・B

    ベストアンサー

    ベストアンサー

    @ontama_udon

    2024/2/15 13:53

    ∑i=1n−2∑j=1n−i−1nCi⋅n−iCj\sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-i-1}{}_n\mathrm{C}_i\cdot{}_{n-i}\mathrm{C}_j

    =∑i=1n−2nCi∑j=1n−i−1n−iCj=\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i\sum_{j=1}^{n-i-1}{}_{n-i}\mathrm{C}_j

    =∑i=1n−2nCi∑j=1n−i−1n−iCj1n−i−j⋅1j=\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i\sum_{j=1}^{n-i-1}{}_{n-i}\mathrm{C}_j1^{n-i-j}\cdot1^j

    =∑i=1n−2nCi((1+1)n−i−1−1)=\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i((1+1)^{n-i}-1-1)

    =∑i=1n−2nCi2n−i−2∑i=1n−2nCi=\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i2^{n-i}-2\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i

    =∑i=1n−2nCi2n−i⋅1i−2∑i=1n−2nCi1n−i⋅1i=\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i2^{n-i}\cdot1^i-2\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i1^{n-i}\cdot1^i

    =((2+1)n−2n−2n−1)−2((1+1)n−1−n−1)=((2+1)^n-2^n-2n-1)-2((1+1)^n-1-n-1)

    =3n−3⋅2n+3=3^n-3\cdot2^n+3

    式変形だけ書くとこんな感じです。

    質問者からのお礼コメント

    質問者からのお礼コメント

    ありがとうございます！！早急でめっちゃ助かりました！！

    引き続き頑張ります💪💪

    そのほかの回答（0件）

    関連する質問

    もっとみる