以下の総和はどのようにして計算可能でしょうか。。

$$\sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-i-1}{}_n\mathrm{C}_i\cdot{}_{n-i}\mathrm{C}_j$$

$$=\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i\sum_{j=1}^{n-i-1}{}_{n-i}\mathrm{C}_j$$

$$=\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i\sum_{j=1}^{n-i-1}{}_{n-i}\mathrm{C}_j1^{n-i-j}\cdot1^j$$

$$=\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i((1+1)^{n-i}-1-1)$$

$$=\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i2^{n-i}-2\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i$$

$$=\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i2^{n-i}\cdot1^i-2\sum_{i=1}^{n-2}{}_n\mathrm{C}_i1^{n-i}\cdot1^i$$

$$=((2+1)^n-2^n-2n-1)-2((1+1)^n-1-n-1)$$

$$=3^n-3\cdot2^n+3$$

式変形だけ書くとこんな感じです。