• 解決済み

    @ronriq

    2024/2/10 1:16

    2 回答

    パラメータが三角関数の軌跡の問題について


    {x＝sin⁡θ+cos⁡θy＝sin⁡θcos⁡θ0<θ<π\begin{cases}x＝\sinθ+\cosθ \\y＝\sin θ\cosθ \\0<θ<\pi \\\end{cases}

    を満たす軌跡を求めよ。


    と言う問題について


    θの存在条件を求める方針で、以下の様に置いて


    {cos⁡θ=Xsin⁡θ=YX2+Y2=1Y>0\begin{cases} \cosθ=X \\ \sinθ=Y \\X ^{2}+Y ^{2}=1\\Y>0\end{cases}


    ∃(X,Y){x＝X+Yy＝XYX2+Y2=1Y>0…＊\exist (X,Y)\begin{cases}x＝X+Y \\y＝XY\\X^{2}+Y^{2}=1\\Y >0\end{cases}…＊


    これを処理して解いていきたいのですが、『Y>0』の条件がある為、

    条件が無い場合の定石：(X+Y、XYを二解に持つ二次方程式の判別式を立てて､､､)

    を上手く応用できず困っています。


    ＊以降の処理を教えていただけませんでしょうか。


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    @ontama_udon

    2024/2/10 1:48

    結論から言うと、「ttについての二次方程式t2−xt+y=0t^2-xt+y=0が正の解を1つ以上持つ」が同値な言い換えになります。


    なんでかというと、

    正の解を持つときは、その解をYYとしてしまえば、もう一方の解XXを必ずとることができます。

    正の解を持たないときは、XXをとることはできても、条件からYYをとることはできません。

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    回答ありがとうございます。理解できました。解の配置の視点が甘かったです。大変助かりました

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    名無しユーザー

    2024/2/10 1:38

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