赤線部は合っていますか。

$b_n \rightarrow 1 \left(n \rightarrow \infty \right)$を前提とすれば、合ってます。

$b_n \rightarrow 1$や$a_n \rightarrow α$の前後に$n \rightarrow \infty$くらいは書いてもよかったかなと思います。

証明に関してはこのくらいなら書かなくてもいいかなと思いますが、不安なようなので証明を載せておきます。

教科書にも書いてある定理として

$$\lim_{n \to \infty}x_n=X,\lim_{n \to \infty}y_n=Y$$

と収束するとき、

$$\lim_{n \to \infty}x_ny_n=XY$$

を既知とします。

上の定理に、$x_n=a_nb_n,y_n=\dfrac{1}{b_n}$とすると、直ちに

$a_n$が収束するとわかります。