数学の質問です。

$f(x)^{g(x)}$ を微分してみます。

$$\begin{aligned}\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} &= \frac{d}{dx} \exp(g(x) \log f(x)) \\ &= \exp(g(x) \log f(x)) \cdot \frac{d}{dx}\{g(x) \log f(x)\} \\ &= f(x)^{g(x)} \left\{\frac{d}{dx}g(x) \log f(x) + g(x) \frac{d}{dx}\log f(x)\right\}\end{aligned}$$

この式は（$a$ を $x$ と無関係な定数として）

・$f(x) = x,\ g(x) = a$ なら $a x^{a - 1}$，

・$f(x) = a,\ g(x) = x$ なら $a^x \log a$，

・$f(x) = x,\ g(x) = x$ なら $x^x(\log x + 1)$

になります。

こうして $x^a,a^x,x^x$ の導関数を一度にひき出してみれば，どれか $1$ つの導関数を他の $2$ つに「倣っ」て計算しようという考えにはならないかと思います。