友達から出された積分の問題です。彼曰く結構の自信作だそうです。$$\left(1\right)Z=\int \dfrac

Question

友達から出された積分の問題です。彼曰く結構の自信作だそうです。$$\left(1ight)Z=\int \dfrac{1}{x^2}\cos\dfrac{π}{x} dx$$ $$\left(2ight)Y=\int \left(	an x+\cot xight)^2 dx$$
$$\left(3ight)X=\int \cos^{4} 	heta \cdot \sin 2	heta d	heta$$
$$\left(4ight)W=\int \dfrac{\cos 	heta}{2+\sin 	heta}d	heta$$
$$\left(5ight)V=\int \dfrac{e^u}{3-2e^u}du$$
一応自分で答えを出しましたが、まったくと言っていいほど自信がなかったので、お願いします(過程も)　$Z Y X W V$の各々の不定積分を求めてください。それぞれ別での回答でもOKです。(Example.$X$だけの回答のみ　など)
誤植などがあったらご一報ください。
補足: $e$は自然対数の底です

Enigmathematics · Accepted Answer

見た感じ解法に詰まるのはなさそうなので全部こたえたいと思います。
積分定数をここで断っておきます、　$(定数:C)$
(1)$\dfrac{1}{x}$で置換せずとも合成関数の微分と思えばいけます

$$Z=-\int \dfrac{(\cos \dfrac{\pi}{x})'}{\pi} dx=-\dfrac{\cos \dfrac{\pi}{x}}{\pi}+C$$

(2)展開でなんとかなります。
$$Y=\int (	an ^2 x+2+\cot ^2 x)dx　ちゃちゃっと変換$$
$$=\int (\csc ^2 x+\sec ^2 x)dx$$
$$∴　Y=	an x-\cot x +C$$

(3)微分の相方探しですね。崩すと一瞬で答えが出ます

$$X=2\int \sin 	heta \cos ^5 	heta d	heta　よって$$
$$∴　X=-\dfrac{1}{3}\cos ^6 	heta+C$$

(4)$\log$ で終わりですね
$$W=\int \dfrac{(2+\sin 	heta)'}{2+\sin 	heta}dx$$
$$∴　W=\log (2+\sin 	heta)+C$$

(5)　(4)と同じようにやります
$$V=\int \dfrac{-\dfrac{1}{2}(3-2e^u)'}{3-2e^u}dx$$
$$∴　V=-\dfrac{1}{2} \log|3-2e^u|+C$$

これでどうでしょうか、返信待ってますね
補足: 誤植を訂正します、(1)の最後は 
$$Z=-\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{x})}{\pi}+C$$
です、すみません🙇

友達から出された積分の問題です。彼曰く結構の自信作だそうです。 $\left(1\right)Z=\int \dfrac{1}{x^2}\cos\dfrac{π}{x} dx$ $\left(2\right)Y=\int \left(\tan x+\cot x\right)^2 dx$

回答 1件

関連する質問

関連する記事

友達から出された積分の問題です。彼曰く結構の自信作だそうです。(1)Z=∫1x2cos⁡πxdx\left(1\right)Z=\int \dfrac{1}{x^2}\cos\dfrac{π}{x} dx(1)Z=∫x21​cosxπ​dx (2)Y=∫(tan⁡x+cot⁡x)2dx\left(2\right)Y=\int \left(\tan x+\cot x\right)^2 dx(2)Y=∫(tanx+cotx)2dx

回答 1件

関連する質問

関連する記事

友達から出された積分の問題です。彼曰く結構の自信作だそうです。 $\left(1\right)Z=\int \dfrac{1}{x^2}\cos\dfrac{π}{x} dx$ $\left(2\right)Y=\int \left(\tan x+\cot x\right)^2 dx$