友達から出された積分の問題です。彼曰く結構の自信作だそうです。$$\left(1\right)Z=\int \dfrac{1}{x^2}\cos\dfrac{π}{x} dx$$ $$\left(2\right)Y=\int \left(\tan x+\cot x\right)^2 dx$$

見た感じ解法に詰まるのはなさそうなので全部こたえたいと思います。

積分定数をここで断っておきます、　$(定数:C)$

(1)$\dfrac{1}{x}$で置換せずとも合成関数の微分と思えばいけます

$$Z=-\int \dfrac{(\cos \dfrac{\pi}{x})'}{\pi} dx=-\dfrac{\cos \dfrac{\pi}{x}}{\pi}+C$$

(2)展開でなんとかなります。

$$Y=\int (\tan ^2 x+2+\cot ^2 x)dx　ちゃちゃっと変換$$

$$=\int (\csc ^2 x+\sec ^2 x)dx$$

$$∴　Y=\tan x-\cot x +C$$

(3)微分の相方探しですね。崩すと一瞬で答えが出ます

$$X=2\int \sin \theta \cos ^5 \theta d\theta　よって$$

$$∴　X=-\dfrac{1}{3}\cos ^6 \theta+C$$

(4)$\log$ で終わりですね

$$W=\int \dfrac{(2+\sin \theta)'}{2+\sin \theta}dx$$

$$∴　W=\log (2+\sin \theta)+C$$

(5)　(4)と同じようにやります

$$V=\int \dfrac{-\dfrac{1}{2}(3-2e^u)'}{3-2e^u}dx$$

$$∴　V=-\dfrac{1}{2} \log|3-2e^u|+C$$

これでどうでしょうか、返信待ってますね