自作で階差数列の一般式を求める公式をΣを使わずに作ったのですが説明ができず困っています。

$a_n$ まで数列化する必要はないかと思いますが、その「公式」でいえば

$$b_n=B+(n-1)C$$

となります。

$b_n$ は $c_n$ の階差数列なので

$$c_n=A+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$$

となりますから、これを計算して

$$\begin{align*}c_n&=A+B(n-1)+C\cdot\dfrac{1}{2}(n-2)(n-1)\\&=A+\{2B+C(n-2)\}\cdot\dfrac{n-1}{2}\\&=A+[B+\{B+C(n-2)\}]\cdot\dfrac{n-1}{2}\end{align*}$$

になります。

「公式」を修正するとしたら

1.$a_n, b_n, c_n$ の初項を$A, B, C$と文字を揃えること

2.大かっこ部分はまだ計算できる(上記計算参照)

ということでしょうか。