• 解決済み

    @kakko_pn

    2023/6/24 22:48

    1 回答

    数学の質問です。

    lim⁡h→0(x+a+h)n−(x+a)n(x+h)−(x)=n(x+a)n−1\lim_{ h\to0}\frac{(x+a+h)^n-(x+a)^n}{(x+h)-(x)}=n(x+a)^{n-1}

    を示して頂きたいです。

    lim⁡h→0(x+h)n−(x)n(x+h)−(x)=n(x)n−1\lim_{ h\to0}\frac{(x+h)^n-(x)^n}{(x+h)-(x)}=n(x)^{n-1}

    を示す時と同じ様に計算して頂きたいです。

    自分でも、その様に遣ろうとしたのですが、頭がこんがらがってしまい、できません。丁度数IIBが終わった所なので、数IIICの知識は使わないで計算過程を書いて下さい。多項定理は知って居ます。

    回答宜しく願います。

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    @sHlcNRe46

    2023/6/25 9:49

    (x+a+h)n=∑r=0nnCr(x+a)n−rhr=(x+a)n+n(x+a)n−1h+∑r=2nnCr(x+a)n−rhr\begin{aligned}(x+a+h)^n&=\sum_{r=0}^n {}_n\mathrm{C}_r (x+a)^{n-r}h^r \\&=(x+a)^n+n(x+a)^{n-1}h+\sum_{r=2}^n {}_n\mathrm{C}_r (x+a)^{n-r}h^r \end{aligned}だから、

    (x+a+h)n−(x+a)n(x+h)−(x)=n(x+a)n−1+∑r=2nnCr(x+a)n−rhr−1\begin{aligned}\dfrac{(x+a+h)^n-(x+a)^n}{(x+h)-(x)}&=n(x+a)^{n-1}+\sum_{r=2}^n {}_n\mathrm{C}_r (x+a)^{n-r}h^{r-1}\end{aligned}となります。


    よって、

    lim⁡h→0(x+a+h)n−(x+a)n(x+h)−(x)=n(x+a)n−1\lim_{h \to 0}\dfrac{(x+a+h)^n-(x+a)^n}{(x+h)-(x)}=n(x+a)^{n-1}が得られます。


    また、X=x+aX=x+a とおけば理解しやすいかと思います。

    返信(4件)

    @kakko_pn

    2023/6/25 9:56

    あ〜、その様にすれば良いのですね！

    ありがとうございます！

    @kakko_pn

    2023/6/25 20:25

    でも、x+a=Xx+a=Xと置いて遣れば良いと言うのは分かりましたが、そうすると、xxの指数が幾つでも、置き換えればn(x△+a)n−1n(x^△+a)^{n-1}と言う形になるきがするのですが、実際はそうならないのですよね？まだ、丁度、数IIBが終わった所なので、良く分かりませんが、数IIICの教科書の合成関数の微分？見たいな所を見るとn(x△+a)n−1n(x^△+a)^{n-1}にはならない様ですね、、、

    @sHlcNRe46

    2023/6/25 23:32

    それは微分の定義に誤りがあります。

    f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}であり、たとえば f(x)=(x2+a)nf(x)=(x^2+a)^n のとき、

    f′(x)=lim⁡h→0((x+h)2+a)n−(x2+a)nhf'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{\bigl((x+h)^2+a\bigr)^n-(x^2+a)^n}{h}となります。この分子の第 11 項は (x2+a+h)n(x^2+a+h)^n ではありません。

    これで、単に置き換えるだけのような単純な計算ではないことが理解できるかと思います。

    詳しくは数学Ⅲの合成関数の微分を学習してください。

    @kakko_pn

    2023/6/27 18:21

    （返信が遅くなってしまいすみません💦）

    あ～、その様になるのですね！

    理解できました！

    ありがとうございます！

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