• 解決済み

    @Graphworld

    2023/2/27 11:39

    1 回答

    調和級数の部分和Hn=∑k=1n1kH_n= \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}の近似として使えそうな式を色々と考えて、今任意のxにおいてHn≒log⁡(nx)+Hx任意のxにおいてH_n\fallingdotseq\log(\dfrac{n}{x})+H_xって式が出たんですが、これよりもっと近似の精度上げたりできないでしょうか?

    補足

    言い忘れてましたが、「x,yx,yは両方とも正である」という条件も必要です。

    1. 高校生
    2. 数学
    3. 数学Ⅱ・B
    1. その他の質問

    ベストアンサー

    ベストアンサー

    削除済みユーザー

    2023/2/28 22:48

    　たとえば、γ\gamma はオイラー=マスケローニの定数として、

    Hn≈log⁡n+12n+γ(1)H_n \approx \log n + \frac{1}{2n} + \gamma\tag{1}

    という近似ができます。この式の両辺の差は高々 γ−1/2=0.0772157⋯\gamma - 1/2 = 0.0772157\cdots。nn が +∞+\infty へ発散するとき差は 00 へ漸近します。見てのとおり収束は速くありませんが。

    　導出は次の等式からできます。

    Hn=log⁡n+12n+12+∫1n{x}−{x}2x3dx(2)H_n = \log n + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2} + \int_1^n \frac{\{x\} - \{x\}^2}{x^3} dx\tag{2}

    ただしここで {x}\{x\} は xx の小数部分をあらわします。


    質問者からのお礼コメント

    質問者からのお礼コメント

    グラフ描画ソフトで描画してみたんですが、結構精度良かったです!!!

    ありがとうございました!

    そのほかの回答（0件）

    関連する質問

    もっとみる