数学の同値変形について。左の写真の四角で囲まれた部分の確かめみたいなのは絶対に必要ですか？最終的な答えにはなんら影響

Question

数学の同値変形について。

左の写真の四角で囲まれた部分の確かめみたいなのは絶対に必要ですか？

最終的な答えにはなんら影響もないです。

右の写真の左側はこの問題についてで、右側が媒介変数表示された関数をx、yで表せ問題で、この問題において①と②は定義域値域の確認が必要で、③はいらないのです。

多分同じような理屈だと思うので教えていただきたいです。

あと、

ある放物線とある直線が交点を持つ時は機械的に連立して判別式Dが0以上、としますが、放物線は定義域または値域が限られてますよね？なのになぜ機械的にDでいけるのか、もわからなくなりました。

例えば $y=x^2 (0\leqq x) と y=3x+k の交点は機械的にDでいけますが、$

$y=x^2 (2\leqq x) と　y=3x+k の交点は機械的にいけない。$ 当たり前ですが。

ということが言いたいのです。

拙い文章に質問も多く答えずらいとは思いますがどうかこの悩みを解決してほしいです

おねがいします🥺🤲

補足

訂正

$y=x^2(0\leqq \red y)$

$y=x^2(2\leqq \red y)$

@DoubleExpYui · Accepted Answer

「最終的な答えにはなんら影響もないです。」と書いていますが、これは普通に解答の一部です。例題だから計算過程を細かく書いているだけです。

もちろん四角内がなくてもその後の記述部分にはすぐたどり着けますが、実際に記述する場合は計算するか言葉で説明するかしないといけません。(極論でいえば「○○を証明せよ」に対して「自明である」は通じませんよね？)

2.定義域・値域の確認について

基本的にはどんな問題でも必要です。が、③は $\theta$ の範囲が全範囲なのでこれは楕円曲線となり自明、というわけです。もちろん、 $\theta$ の値を細かく範囲指定してあれば定義域・値域は必要になります。

3.放物線と直線の交点について

A.二次関数 $y=x^2\ (y\geq0)$ というのは全範囲なので機械的に判別式を適用できる。

B.二次関数 $y=x^2\ (y\geq2)$ というのは $-\sqrt{2}\lt x \lt \sqrt{2}$ を除外しているため、その範囲を考慮する必要がある。そのため判別式だけで考えてはいけない。

以上です。分からないところがあればまた聞いて下さい。