$\iint_{D} dx$

などは、領域 $D$ の面積を求めるらしいですが、いまいち2変数関数と領域 $D$ があんまり関わりないように思えてしまいます。2変数関数で領域 $D$ を表せるのでしょうか。そもそも色々な本を読んでみましたが2変数関数のグラフは平面です、しかしその書き方はわかりません。2つの件について、どういうことか教えて下さい。

回答 2件

ベストアンサー

hinanase 2022/9/27

$D$ 上で定義された2変数関数 $z=f(x, y)$ は、領域 $D$ 内の点 $(x, y)$ を入力すると高さ $z$ が返ってくる関数です。すなわち、定数関数 $1$ は常に高さとして $1$ を返す関数です。よって、これを領域 $D$ 上で重積分すれば、底面が $D$ 、高さが1の柱の体積が求められます。高さが1なのでこれは底面積、すなわち $D$ の面積と一致するというわけです。

2変数関数のグラフは立体で書くしかありません。

Differential 2022/9/27

底面の $D$ とはどういうことでしょうか。そもそも2変数関数に $D$ があるともわかりませんでした。 $D$ とはどこの領域のことでしょうか。
hinanase 2022/9/27

$D$ は積分したい領域です（この領域内で2変数関数 $f(x, y)$ が定義されていると思っていただいても構いません）．
底面の $D$ はそのままの意味です．例えば1変数関数の積分
$\int_a^b dx$
を考えてみると，これは底辺(長方形ではこのような言い方はしませんが)が区間 $[a, b]$ の長方形の面積となります．重積分をこの積分の拡張としてとらえれば，
$\iint_D dxdy$
は底面が領域 $D$ の柱の体積を与えることがお分かりいただけるかと思います．
Differential 2022/10/1

お礼

なるほど。 $D$ はある関数を定義する部分（すなわち求積するところ］なんですね。とてもよく理解できました。スッキリ！！どちらの方もベストアンサーにしたかったのですが、わかりやすかった方をお選びしました。

DoubleExpYui 2022/9/28

1変数関数 $y=f(x)$ は区間 $[a,b]$ で積分しますよね？

これが2変数関数になると、区間は $x,y$ それぞれで $a\leq x \leq b,c\leq y\leq d$ となるわけです。この範囲を領域 $D$ としていて、

$D=\{(x,y)|a\leq x \leq b,c\leq y\leq d\}$

を表しているのです。

補足

また、グラフは3次元空間で表されます。

1変数関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸、 $y$ 軸の2次元で表示されることから、

2変数関数 $z=f(x,y)$ が $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸の3次元で表示されることは

理解できるのではないでしょうか。

$\iint_{D} dx$

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