解決済み

Ddx\iint_{D} dx

などは、領域DDの面積を求めるらしいですが、いまいち2変数関数と領域DDがあんまり関わりないように思えてしまいます。2変数関数で領域DDを表せるのでしょうか。そもそも色々な本を読んでみましたが2変数関数のグラフは平面です、しかしその書き方はわかりません。2つの件について、どういうことか教えて下さい。

ベストアンサー

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DD上で定義された2変数関数z=f(x,y)z=f(x, y)は、領域DD内の点(x,y)(x, y)を入力すると高さzzが返ってくる関数です。すなわち、定数関数11は常に高さとして11を返す関数です。よって、これを領域DD上で重積分すれば、底面がDD、高さが1の柱の体積が求められます。高さが1なのでこれは底面積、すなわちDDの面積と一致するというわけです。


2変数関数のグラフは立体で書くしかありません。


返信(2件)

底面のDDとはどういうことでしょうか。そもそも2変数関数にDDがあるともわかりませんでした。DDとはどこの領域のことでしょうか。

DDは積分したい領域です(この領域内で2変数関数f(x,y)f(x, y)が定義されていると思っていただいても構いません).

底面のDDはそのままの意味です.例えば1変数関数の積分

abdx \int_a^b dx

を考えてみると,これは底辺(長方形ではこのような言い方はしませんが)が区間[a,b][a, b]の長方形の面積となります.重積分をこの積分の拡張としてとらえれば,

Ddxdy \iint_D dxdy

は底面が領域DDの柱の体積を与えることがお分かりいただけるかと思います.

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

なるほど。DDはある関数を定義する部分(すなわち求積するところ]なんですね。とてもよく理解できました。スッキリ!!どちらの方もベストアンサーにしたかったのですが、わかりやすかった方をお選びしました。

そのほかの回答(1件)

1変数関数y=f(x)y=f(x)は区間[a,b][a,b]で積分しますよね?

これが2変数関数になると、区間はx,yx,yそれぞれでaxb,cyda\leq x \leq b,c\leq y\leq dとなるわけです。この範囲を領域DDとしていて、


D={(x,y)axb,cyd}D=\{(x,y)|a\leq x \leq b,c\leq y\leq d\}


を表しているのです。

補足

また、グラフは3次元空間で表されます。

1変数関数y=f(x)y=f(x)xx軸、yy軸の2次元で表示されることから、

2変数関数z=f(x,y)z=f(x,y)xx軸、yy軸、zz軸の3次元で表示されることは

理解できるのではないでしょうか。

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