• 解決済み

    @ujinao

    2022/08/22

    1 回答

    下の問題で、この解答どうですか?


    (問題)実数x,yx,yが方程式x2+y2−2(x+y)−6=0x^2+y^2-2(x+y)-6=0を満たすときx+yx+yの取りうる値の範囲を求めよ。



    (解答)x+y=kx+y=kとおく。このもとで、


    　「実数x,yx,yが方程式x2+y2−2(x+y)−6=0x^2+y^2-2(x+y)-6=0　　を満たす」


    ⇔x2+y2−2(x+y)−6=0⇔x^2+y^2-2(x+y)-6=0　∃\exists x,yx,y


    ⇔2xy=k2−k−3⇔2xy=k^2-k-3　∃\exists x,yx,y


    ⇔⇔「x,yがtの二次方程式t2−2kt+k2−2k−6=0t^2-2kt+k^2-2k-6=0　　の解」∃\exists x,yx,y


    ⇔t2−2kt+k2−2k−6=0…①⇔t^2-2kt+k^2-2k-6=0…① ∃\exists tt


    ⇔(①の判別式)≧0⇔(①の判別式)≧0


    ⇔k2−2(k2−2k−6)≧0⇔k^2-2(k^2-2k-6)≧0


    ⇔(k+2)(k−6)≦0⇔(k+2)(k-6)≦0


    ⇔−2≦k≦6⇔-2≦k≦6


    よって求めるx+yx+yの範囲は−2≦k≦6-2≦k≦6

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    @MusicAgo

    2022/08/23

    2xy=k2−k−32xy=k^2-k-3の式が多分間違っています。

    あと存在記号の使い方に違和感があります。

    1つ目の式ですが

    だと意味は分かりますが，特定のx,yx,yについて満たす値が1つ存在することを表してしまいます。

    完全に同値な変形をするなら

    とかになる気がします。


    僕の知識不足なのかも知れないんですが$\existsってどういう意味で使っていますか？

    返信(2件)

    @ujinao

    2022/08/23

    回答に表記ミスがありますので、もう一度回答していただけると幸いです!

    P(x,yx,y) ∃\exists x,yx,y は


    xとyxとyの条件Pを満たす実数x,yx,yが存在する


    すなわち


    ある実数x,yx,yが条件Pを満たす


    という意味で使っています!

    もし間違いがあれば教えて下さい!


    @MusicAgo

    2022/08/24

    表記ミスすいません

    存在記号は関数の前につく気がします。

    ある実数x,yx,yが関数P(x,y)P(x,y)を満たすと言いたければ

    ∃x,y(x2+y2−2(x+y)−6=0)\exists x,y (x^2+y^2-2(x+y)-6=0)

    だと思います。


    なので僕なら

    k=x+yk=x+yのとき

    ∃x,y(x2+y2−2(x+y)−6=0)\exists x,y (x^2+y^2-2(x+y)-6=0)

    ⇔∃x,y(2xy=k2−2k−6)\Leftrightarrow \exists x,y (2xy=k^2-2k-6)

    ⇔∃t(t2−2kt+k2−2k−62=0)\Leftrightarrow \exists t (t^2-2kt+\dfrac{k^2-2k-6}{2}=0)

    ⇔k2−2(k2−2k−6)≧0\Leftrightarrow k^2-2(k^2-2k-6) \geqq 0

    ⇔(k−6)(k+2)≦0\Leftrightarrow (k-6)(k+2) \leqq 0

    ⇔−2≦k≦6\Leftrightarrow -2 \leqq k \leqq 6


    あと少しおせっかいなのは理解していますが，単に判別式という表現はあまりよくないです。丁寧に書くならtに関する2次方程式の解の個数の判別式としっかり書いた方がいいです。意見があれば教えてください。

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