四面体の体積についての考察です。

成り立つと思います。

まず前提として$四面体OABC、四面体OA'B'C'$について、

$∠AOB=∠A'OB'=\alpha$、

$Cから平面OAB(OA'B')に下ろした垂線との交点をH、H'$とし

$∠COH=∠C'OH'=\beta$とする。

　$四面体OABC$について

底面積を$△OAB$と考え

$△OAB={1\over2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|sin\alpha$

高さを$CH$とすると

$|\overrightarrow{CH}|=|\overrightarrow{OC}|sin\beta$

四面体$OABC$の体積$V$は

$V={{1\over2}\times{1\over3}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|sin\alpha|\overrightarrow{OC}|sin\beta}$=${1\over6}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|sin\alpha sin\beta$

　四面体$OA'B'C'$の体積$V'$も同様に

$V'={1\over6}|\overrightarrow{OA'}||\overrightarrow{OB'}||\overrightarrow{OC'}|sin\alpha sin\beta={1\over6}l|\overrightarrow{OA}|m|\overrightarrow{OB}|n|\overrightarrow{OC}|sin\alpha sin\beta=lmn\times{1\over6}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|sin\alpha sin\beta$

ここで

$V={1\over6}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|sin\alpha sin\beta$

より

$V'=lmn\times V$

一応$l,m,n\in\mathbb{R}、0<\alpha,\beta<\pi$のつもりで考えていますが、細かい条件や計算など間違っていたらすみません。