これの（2）が帰納法らしいのですがわかりません。

座標平面を用いなくとも、こんな感じでどうでしょう。こちらの図の方が直感的には捉えやすいかもしれません。画像を参照しながらお読みください。

また、模範解答の解き方を思いつく過程にもスポットを当てながら説明してみます。

---以下解説---

この問題では、前の玉の引き方によって次の袋の中身がどんどん変わっていってしまうので、回を重ねるほど考えるのが困難になっていきます。そのため、解き進め方に全く検討がつかないように思えてしまいますが、(1)でN=3のときを考えさせることで、袋の中身に関わらず常に$p_3(m)={1 \over 4}$という一定の確率になることに気づかせようとしています。

実はこの特性は帰納法の「過程はさておき、1つ前の状態から次の状態を考える」という考え方と非常に相性がよく、これに気づくことができれば、(2)を帰納法から証明することを思いつくことができます。

そこで、kの値に関わらず$p_k(m)={1 \over k+1}$となること仮定して、これを証明していきます。

さて、質問者さんがわかりにくいと感じているのはおそらくこの辺りからかと思います。

まず数学的帰納法の確認から。

数学的帰納法は、ある仮定がすべての自然数Nについて成り立つことを示す証明法です。

実際にすべての自然数について確認することは不可能ですので、

●N=1のとき成立

●前(N=k)が成立するなら次(N=k+1)も成立する

の2つを示すことで、ドミノ倒し的に全ての自然数Nについて示しちゃおう！という証明法です。

(2)でも上記2つを示していきたいのですが、いきなり$p_k(m)$から$p_{k+1}(m)$の話をすると混乱すると思うので、まずは$p_2(m)$から$p_3(m)$を求める方法を考えましょう。＜画像あり＞

このとき、$l$を3通りに場合分けしていますが、この辺りの解説をしていきます。

数学的帰納法は、過程ガン無視で前後関係のみで論じていきます。逆に言えば、前後関係に同じ状況が存在するときはまとめられるということです。

今回確認するべき状況とは、

・1つ前の袋の赤玉の数

・次の試行で何色の玉を引くか

の2つです。

一旦、それぞれの$l$について考えてみましょう。

●3回目の試行において$l=1$となるのは

・1つ前の袋に赤玉が1個であり、次の試行で白玉を引く

の1パターンしかありません。

●3回目の試行において$l=2$となるのは

・1つ前の袋に赤玉が1個であり、次の試行で赤玉を引く

・1つ前の袋に赤玉が2個であり、次の試行で白玉を引く

の2パターンがあります。

●3回目の試行において$l=3$となるのは

・1つ前の袋に赤玉が2個であり、次の試行で赤玉を引く

・1つ前の袋に赤玉が3個であり、次の試行で白玉を引く

の2パターンがあります。

●3回目の試行において$l=4$となるのは

・1つ前の袋に赤玉が3個であり、次の試行で赤玉を引く場合

の1パターンしかありません。

ここで、$l=2$と$l=3$の場合は

●3回目の試行において$2≦l≦3$となるのは

・1つ前の袋に赤玉が$l-1$個であり、次の試行で赤玉を引く

・1つ前の袋に赤玉が$l$個であり、次の試行で白玉を引く

と$l$を使って表現することでまとめることができます。

$l=1$と$l=4$のときもまとめられそうな気がしますが、次の試行で引く玉の色が異なるので、まとめることができません。

よって$l=1$,$2≦l≦3$,$l=4$という3つの場合に分けて考えることがきました。

これと同じことをk+1回目の試行についても$l=1$,$2≦l≦k+1$,$l=k+2$の3つの場合に分けて考えているだけです。

模範解答の書き方では$l$についての3つの場合分けが少しわかりづらいですが、よく見るとそのように分けられていますよ。じっくりゆっくり考えながら、解説と睨めっこしてみてください。

もし追加の説明が欲しければ、質問いただければお答えします。