数学の質問です。
以前も同じような質問をし、回答を頂けましたが、私の不手際で返信出来ず、結局解決しなかったので、もう1度質問させて頂きます（以前と同じ質問を再投稿させて頂きます）。前回ご回答頂いた回答者さんにはお詫び申し上げます。
以前、定数を変化させる時、放物線と放物線でない他の二次曲線との交点の個数を調べる問題に就いて、を消去して解くと解答と合わなかったため、質問し、を消去すると、の範囲の情報が消えて終うからとの回答を頂き納得しました。しかし、思い返して見ると、同じような問題設定で、例えば、円と直線の交点の個数を調べる問題で解答ではを消去してもの取り得る範囲を考えずに解いて居たようなきがします。なぜの範囲を考える必要がないのでしょうか？どんな場合にの範囲を考える必要があり、どんな場合にの範囲を考える必要がないのでしょうか？
（円と直線の場合、を消去したの方程式が実数解を持つ時、そのの値に対応するの値が必ず円の方程式のが取り得る範囲内に存在する理由が良く分からないです。）
回答宜しくお願い致します。
質問文中の「以前」は今回の投稿の冒頭にある「以前」とはまた違う時のものです。紛らわしくてすみません💦
ベストアンサー
一応前と同じ回答をしておきます笑
なぜ、円と直線の交点の個数を調べる問題ではを消去してものとりうる値の範囲を考えずに解いてよかったのか。
それはずばり、代入するものが直線の方程式という1対1対応の関係式だからです
代入して求めたものが直線との交点だから、が決まればはただ一つに決まって、がただ一つに決まる。これによりとが1対1に対応し、の個数との個数が一致します。
態々もう一度回答して頂いてすみません…
しかも、また返信が遅くなって終って申し訳ないです…
もう一度考えて見たら分かったかもしれないです…！
放物線と放物線でない他の二次曲線の場合に、を消去して判別式を使っても、そのに対応するの値が存在するかわからない。なぜなら、の範囲を考えて居ないから。円と直線の場合に、を消去して判別式を使うと、そのに対応するは存在する。直線で考えると、或るが存在する時、それに対応するも存在するのはほぼ自明、円で考えると、円の方程式のに直線の式を代入した訳だから、判別式を使って得られたの範囲は当然、円の方程式のの範囲の中にある（少し日本語がおかしいかも知れないですが、以前説明して頂いたの話をしようとしています）。
こう言う感じで合っていますでしょうか？
ちょうど受験期で忙しいでしょうから、こっちに気を取られないでください
その理解で正しいです
ちょっと質問の部分で見落としていたんですけど、「放物線と放物線でない他の二次曲線の場合に、を消去して」の部分、ではなくを消去した、で間違いないでしょうか？
を消去したらの4次方程式となり、これを解いて定まったの値は、の値を一つに定めます。(放物線も関数なので)
1対1対応という説明は良くなかったかもしれません。申し訳ない…
お気遣いありがとうございます🙇
消去する文字に就いての話ですが、放物線は(はの関数ではない)と(はの関数)の二種類あるので、消去する文字に因って、二次方程式にも四次方程式にもなると思います。
追加で少し確認したいのですが、二次曲線同士の場合（定数を変化させて二曲線の交点を調べる問題）、片方の文字を消去して得られた二次方程式が単に解を持つ、ではなく、グラフを書いて見て、交わり得る範囲を求めて、その範囲内で二次方程式が解を持つ、所謂解の配置問題のようにして解くのは大丈夫ですよね？もう片方の文字が二解か、重解かは分からないけど、範囲付きの二次方程式で片方の文字が解を持つ定数の範囲では、もう片方の文字も必ず実数解を持ちますよね？
それは大丈夫です。
ある2つの方程式を連立して「の解」だけを求めたとき、に関しては「共有点の座標の条件」と同値になっています。
ようはを消したせいで、に関して同値な条件だけが消えてしまったという感じです。
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そのほかの回答（1件）
質問の意図があまりよく分かりませんが、どの文字を消去させてもよいですし、いかなる場合においても範囲は考える必要があります。具体的な問題を用意していただければそちらに回答いたします。
まずは方程式とそのグラフが意味するもの、そしてそれらを繋ぐものを理解しておく必要があるでしょう。
まず、方程式とは「変数を含んだ等式であって、その変数がある特定の値であるときに成り立つようなもの」であり、等式を成り立たせるようなある値のことをと言います。解をすべて求めることをと言い、解が存在しない場合や無数に存在する場合もあります。
グラフは線で表されますが、これはであることは意識しておきましょう。方程式は、その点が満たす式のことです。つまり、
ということです。
ここで、 つの方程式 で表されるグラフの共有点の座標を考えましょう。
共有点とは、 座標と 座標がともに等しくなるような点のことなので、その座標を とおくと、 かつ を満たします。したがって、この つの方程式を連立させることで が求められます。
わざわざ と置き直すのが面倒なので、いつもはそのまま として解いていると思います。
つまり、共有点の座標を求めるためには連立方程式を解けばよいので、どちらかの文字を消去するという発想になります。どちらの文字を消去しても同じなので、簡単に処理できる方を選べばよいということです。
また、共有点が存在するような範囲にしか共有点はないので、方程式を解く際に同値でない変形を使って範囲外の解が出てきた場合は、除外する必要があります。
回答になっていないとも思いますが、具体的な問題がないのでこれくらいかなと考えました。
再度質問を投稿してもらえると、時間があるときに回答いたします。
質問者からのお礼コメント
まさか、今回も回答を頂けるとは思わず…
本当にありがとうございました。