数学の質問です。以前も同じような質問をし、回答を頂けましたが、私の不手際で返信出来ず、結局解決しなかったので、もう1度

Question

数学の質問です。

以前も同じような質問をし、回答を頂けましたが、私の不手際で返信出来ず、結局解決しなかったので、もう1度質問させて頂きます（以前と同じ質問を再投稿させて頂きます）。前回ご回答頂いた回答者さんにはお詫び申し上げます。

以前、定数を変化させる時、放物線と放物線でない他の二次曲線との交点の個数を調べる問題に就いて、$y$を消去して解くと解答と合わなかったため、質問し、$y$を消去すると、$y$の範囲の情報が消えて終うからとの回答を頂き納得しました。しかし、思い返して見ると、同じような問題設定で、例えば、円と直線の交点の個数を調べる問題で解答では$y$を消去しても$y$の取り得る範囲を考えずに解いて居たようなきがします。なぜ$y$の範囲を考える必要がないのでしょうか？どんな場合に$y$の範囲を考える必要があり、どんな場合に$y$の範囲を考える必要がないのでしょうか？
（円と直線の場合、$y$を消去した$x$の方程式が実数解を持つ時、その$x$の値に対応する$y$の値が必ず円の方程式の$y$が取り得る範囲内に存在する理由が良く分からないです。）

回答宜しくお願い致します。
補足: 質問文中の「以前」は今回の投稿の冒頭にある「以前」とはまた違う時のものです。紛らわしくてすみません💦

ontama_udon · Accepted Answer

一応前と同じ回答をしておきます笑

なぜ、円と直線の交点の個数を調べる問題では$y$を消去しても$y$のとりうる値の範囲を考えずに解いてよかったのか。

それはずばり、代入するものが直線の方程式という1対1対応の関係式だからです

代入して求めたものが直線との交点だから、$x$が決まれば$y$はただ一つに決まって、$(x,y)$がただ一つに決まる。これにより$x$と$(x,y)$が1対1に対応し、$x$の個数と$(x,y)$の個数が一致します。

sHlcNRe46 · Answer

質問の意図があまりよく分かりませんが、どの文字を消去させてもよいですし、いかなる場合においても範囲は考える必要があります。具体的な問題を用意していただければそちらに回答いたします。

まずは方程式とそのグラフが意味するもの、そしてそれらを繋ぐものを理解しておく必要があるでしょう。

まず、方程式とは「変数を含んだ等式であって、その変数がある特定の値であるときに成り立つようなもの」であり、等式を成り立たせるようなある値のことを$\bold{解}$と言います。解をすべて求めることを$\bold{方程式を解く}$と言い、解が存在しない場合や無数に存在する場合もあります。

グラフは線で表されますが、これは$\bold{点の集合}$であることは意識しておきましょう。方程式は、その点が満たす式のことです。つまり、
$$方程式 \ y=f(x) \ を満たす点の集合がグラフをなしており、\
逆にグラフ上のすべての点の座標 \ (x,y) \ がこの方程式を満たす$$
ということです。

ここで、$2$ つの方程式 $y=f(x),y=g(x)$ で表されるグラフの共有点の座標を考えましょう。
共有点とは、$x$ 座標と $y$ 座標がともに等しくなるような点のことなので、その座標を $(a,b)$ とおくと、$b=f(a)$ かつ $b=g(a)$ を満たします。したがって、この $2$ つの方程式を連立させることで $(a,b)$ が求められます。
わざわざ $(a,b)$ と置き直すのが面倒なので、いつもはそのまま $(x,y)$ として解いていると思います。

つまり、共有点の座標を求めるためには連立方程式を解けばよいので、どちらかの文字を消去するという発想になります。どちらの文字を消去しても同じなので、簡単に処理できる方を選べばよいということです。
また、共有点が存在するような範囲にしか共有点はないので、方程式を解く際に同値でない変形を使って範囲外の解が出てきた場合は、除外する必要があります。

回答になっていないとも思いますが、具体的な問題がないのでこれくらいかなと考えました。
再度質問を投稿してもらえると、時間があるときに回答いたします。

数学の質問です。

回答 2件

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