数学の質問です。方程式の解の個数の問題を解いて居たら、方程式の同値変形が良く分からなくなってしまいました。方程式を変形

Question

数学の質問です。

方程式の解の個数の問題を解いて居たら、方程式の同値変形が良く分からなくなってしまいました。方程式を変形する時に、未知数を両辺に掛ける、未知数で両辺を割る、両辺を〜乗するなどの操作をしますが、どんな場合にこれらの操作をしても同値になる、逆に、どんな場合に、これらの操作をすると同値でなくなるのでしょうか？出来るだけ、多くの場合に就いて纏めて頂けるとありがたいです。対象の方程式は、高校範囲全ての方程式（ $整式=0$ の方程式、分数方程式、無理方程式、指数方程式、対数方程式など）でお願い致します🙇お忙しいとは思いますが、回答お待ちして居ります。

回答宜しくお願い致します。

@ontama_udon · Accepted Answer

最も重要なのは 「$ab=0⇔a=0またはb=0$」 です。たぶんご存知でしょう  方程式に対して未知数を両辺に掛ける、未知数を両辺で割る、両辺を~乗するなどの操作の同値性は、全部これで説明できます。  例えば方程式$f(x)=0$の両辺に未知数$x$を掛ける。 $xf(x)=x×0$ $⇔xf(x)=0$ $⇔x=0またはf(x)=0$ ここで、$f(0)=0$が成り立つときは、 $x=0またはf(x)=0(かつf(0)=0)$ $⇔f(x)=0$ となります  方程式$f(x)=0$の両辺に式$g(x)$を掛ける。$(g(x)の定義域はG)$ $f(x)g(x)=0⇔f(x)=0または$g(x)=0$ ここで、$\{x \in G|g(x)=0\} \subset \{x \in G|f(x)=0\}$が成り立つときは、 $f(x)=0またはg(x)=0$ $⇔f(x)=0かつx \in G$ となります  方程式$f(x)=g(x)$の両辺に式$h(x)$を掛ける。$(h(x)の定義域はH)$ $f(x)h(x)=g(x)h(x)$ $⇔(f(x)-g(x))h(x)=0$ $⇔f(x)-g(x)=0またはh(x)=0$ $⇔f(x)=g(x)またはh(x)=0$ ほぼないですが、$\{x \in H|h(x)=0\} \subset \{x \in H|f(x)=g(x)\}$が成り立つときは、 $f(x)=g(x)またはh(x)=0$ $⇔f(x)=g(x)かつx \in H$ となります  方程式$f(x)=0$の両辺を$n$乗する。 $f(x)^n=0$ $⇔f(x)^{n-1}=0またはf(x)=0$ $\cdots$ $⇔f(x)=0$ となります  方程式$f(x)=g(x)$の両辺を$n$乗する。 $f(x)^n=g(x)^n$ $⇔f(x)^n-g(x)^n=0$ $⇔(f(x)-g(x))(f^{n-1}(x)+\cdots+g^{n-1}(x))=0$ $⇔f(x)=g(x)またはf^{n-1}(x)+\cdots+g^{n-1}(x)=0$ あまりないですが、$\{x|f^{n-1}(x)+\cdots+g^{n-1}(x)=0\} \in \{x|f(x)=g(x)\}$が成り立つときは、 $f(x)=g(x)またはf^{n-1}(x)+\cdots+g^{n-1}(x)=0$ $⇔f(x)=g(x)$ となります  グラフ$f(x,y)=0$の両辺に未知数$x$を掛ける。 $xf(x,y)=0$ $⇔x=0またはf(x,y)=0$ ここでグラフ$x=0$がグラフ$f(x,y)=0$に含まれるときは $x=0またはf(x,y)=0$ $⇔f(x,y)=0$ となります  グラフ$f(x,y)=0$の両辺にグラフ$g(x,y)$を掛ける。$(g(x,y)の定義域はG^2)$ $f(x,y)g(x,y)=0$ $⇔f(x,y)=0またはg(x,y)=0$ ここでグラフ$g(x,y)=0((x,y) \in G^2)$がグラフ$f(x,y)=0((x,y) in G^2)$に含まれるときは $f(x,y)=0またはg(x,y)=0$ $⇔f(x,y)=0かつ(x,y) \in G^2$ となります  グラフ$y=f(x)$にグラフ$y=g(x)$を掛け合わせる。$(g(x)の定義域はG)$ 表現的に正しいかわかりませんが、こういうことです。 $y(y-g(x))=f(x)(y-g(x))$ $⇔(y-f(x))(y-g(x))=0$ $⇔y=f(x)またはy=g(x)$ ほぼないですが、$x \in G$において$f(x)=g(x)$であるときは、 $y=f(x)またはy=g(x)$ $⇔y=f(x)$ となります   だいたいこんな感じです

@hogehoge · Answer

とくに断らなければ実数全体(の部分集合)を定義域とした実数値関数を扱います. 「任意の」と言ったときは定義域や(暗に)与えられた条件において任意であるとします.

$f(x)=g(x)$ と $f(x)+h(x)=g(x)+h(x)$ の解は同じです. したがってとくに移項は自由にできます.

任意の $x$ に対して $h(x)\neq 0$ ならば $f(x)=g(x)$ と $h(x)f(x)=h(x)g(x)$ の解は同じです. したがってとくに $0$ 以外の定数はいつでも両辺にかけて大丈夫です.

変わる例: $h(x)=x$ を $x-1=0$ (解は $x=1$ )の両辺にかけると $x(x-1)=0$ (解は $x=0,1$ ). $h$ の零点, すなわち $h(x)=0$ であるような $x$ が解に追加されてしまう.

変わらない例: $g(x)/f(x)=1$ の両辺に $f(x)$ をかけて $g(x)=f(x)$ とする. ( $\because$ そもそもの前提として $f(x)\neq 0$ であるような $x$ で考えている.)

少し話から外れますが任意の実数 $x,y$ に対して $x=y$ $\Leftrightarrow$ $x\leqq y$ かつ $x\geqq y$ です. 一般に関数 $f$ について $x=y$ ならば $f(x)=f(y)$ ですが, その逆 $f(x)=f(y)$ ならば $x=y$ は一般には成り立ちません. ( $1^2=(-1)^2$ だが $1 \neq -1$ .) これに注意して

$h$ を(狭義)単調増加関数, すなわち

$x<y \quad\Longrightarrow\quad h(x)<h(y)$

とします. (以下単調関数はすべて狭義の意味にとる.) 対偶をとると

$h(x)\geqq h(y) \quad\Longrightarrow\quad x\geqq y$

となります. これより

$\begin{split}&\qquad\;h(x)=h(y) \\&\Longleftrightarrow h(x)\leqq h(y), \; h(x)\geqq h(y)\\&\Longleftrightarrow x\leqq y, \; x\geqq y\\&\Longleftrightarrow x=y\end{split}$

となります. すなわち単調増加関数については

$x=y \quad\Longleftrightarrow\quad h(x)=h(y)$

が成り立ちます. 単調減少関数についても同様ですから, この性質は単調関数に対して成り立ちます. これ(いわゆる単射性)より

$h(x)=x^3$ とすると $h$ は単調です. したがって $f(x)=g(x)$ と $(f(x))^3=h(f(x))=g(f(x))=(g(x))^3$ の解は同じです. 奇数次であれば同様です.

$f(x)=g(x)$ と $e^{f(x)}=e^{g(x)}$ の解は同じです.

$f(x)=g(x)$ と $(f(x))^2=(g(x))^2$ の解は同じではありません. しかし関数 $f$ , $g$ について, 任意の $x$ に対して $f(x)\geqq 0$ , $g(x)\geqq 0$ が成り立つならば, 区間 $[0,\infty)$ で定義された関数 $h(x)=x^2$ は単調ですから $f(x)=g(x)$ と $(f(x))^2=(g(x))^2$ の解は同じです.

任意の $x$ に対して $f(x) > 0$ , $g(x) > 0$ が成り立つならば, $f(x)=g(x)$ と $\log f(x) =\log g(x)$ の解は同じです.

注: 対数について, 方程式に暗黙のうちに条件が設定されている場合, 例えば

$\log x = \log (x^2-2)$

を解け, といった場合. これは初めから $x>\sqrt{2}$ であることが仮定されていて, 前のとおり, この区間 $(\sqrt{2},\infty)$ における $\log x = \log (x^2-2)$ と $x=x^2-2$ の解は同じです. $x=x^2-2$ を $(\sqrt{2},\infty)$ の範囲で解けば $x=2$ ですから, これがもとの方程式 $\log x = \log x^2-2$ の解になります. 条件を無視して実数全体で解くと余計なもの(この場合は $x=-1$ )が追加される場合があります.

これは同値変形ではないですが, $f(x)=g(x)$ は解けないけれど $h(f(x))=h(g(x))$ は解ける場合. 一般に $f(x)=g(x)$ の解はすべて $h(f(x))=h(g(x))$ の解です. したがって $h(f(x))=h(g(x))$ の解以外で $f(x)=g(x)$ を満たすような $x$ は存在しないことがわかります. ゆえに $h(f(x))=h(g(x))$ の解の中から $f(x)=g(x)$ の解を探すだけで, $f(x)=g(x)$ の解を網羅できます. これに限らず変形前が変形後の十分条件になっているなら同じです.

数学の質問です。

ベストアンサー

最も重要なのは

成程。 $ab=0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0$ を使って考えるのですね。

これは落とし穴ですが、解の個数が減ることもあります。

成程。定義域を確り考える必要があるのですね…割と奥が深いんですね…もう少し考えて見ようと思います。

そのほかの回答（1件）

とくに断らなければ実数全体(の部分集合)を定義域とした実数値関数を扱います. 「任意の」と言ったときは定義域や(暗に)与えられた条件において任意であるとします.

中ほどにある $(f(x))^3=h(f(x))=g(f(x))=(g(x))^3$ の $g(f(x))$ は $h(g(x))$ の誤りです.

成程。今までなんとなくで遣って来たので、良く考えて見ると、奥が深くて、割と難しいですね…

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最も重要なのは

成程。ab=0⇔a=0∨b=0ab=0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0ab=0⇔a=0∨b=0を使って考えるのですね。

これは落とし穴ですが、解の個数が減ることもあります。

成程。定義域を確り考える必要があるのですね…割と奥が深いんですね…もう少し考えて見ようと思います。

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そのほかの回答（1件）

とくに断らなければ実数全体(の部分集合)を定義域とした実数値関数を扱います. 「任意の」と言ったときは定義域や(暗に)与えられた条件において任意であるとします.

中ほどにある (f(x))3=h(f(x))=g(f(x))=(g(x))3(f(x))^3=h(f(x))=g(f(x))=(g(x))^3(f(x))3=h(f(x))=g(f(x))=(g(x))3 の g(f(x))g(f(x))g(f(x)) は h(g(x))h(g(x))h(g(x)) の誤りです.

成程。今までなんとなくで遣って来たので、良く考えて見ると、奥が深くて、割と難しいですね…

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