数学の質問です。

極を通らない極方程式$r=f( \theta )$を考えます。これの両辺に$r$をかけた式というのは$r^2=rf( \theta )$ですよね。

なので問題は、$r^2=rf( \theta )$のグラフが$r=f( \theta )$と一致するのかということになります。

$r^2=rf( \theta )$

$\Leftrightarrow r(r-f( \theta ))=0$

$\Leftrightarrow r=0 または r-f( \theta )=0$

$\Leftrightarrow r=0 または r=f( \theta )$

よって、$r^2=rf( \theta )$のグラフは、$r=0$のグラフと$r=f( \theta )$のグラフを合わせたものと一致するということです。

$r^2=rf( \theta )$は$r=f( \theta )$に極$(r=0)$を追加したものとなるので、一致しなくなるということですね。