数学の質問です。

確率に就いてです。

条件付き確率　$P_A(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$　$P_B(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

確率の乗法定理　$P(A \cap B)=P(A)P_A(B)$　$P(A \cap B)=P(B)P_B(A)$

「赤球5個、白球3個が入って居る袋から球を1個ずつ取り出す試行を2回行う。この時赤球2個が取り出される確率を求めよ。」と言う問題があります。

解説では、

「

事象Aを1回目に赤球を取り出す、事象Bを2回目に赤球を取り出すとする。

確率の乗法定理より

$P(A \cap B)=P(A)P_A(B)$

$=\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{7}$

$=\dfrac{5}{14}$

」

となっていたのですが、直感的には$P_A(B)$が$\dfrac{4}{7}$となるのは分かるのですが、数学的に厳密には$P_A(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$と定められて居て、$P(A \cap B)$が分からないと$P_A(B)$が求められなく、今、$P(A \cap B)$を知りたい（$P(A \cap B)$は未知）ので$P_A(B)$は求められないのではないでしょうか？

$P_A(B)$は必ずしも$\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$で求めないといけない訳ではなく、飽く迄、$\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$でも求められるよと言うことで、$P_A(B)$を求める時は$\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$を使わなくても$P(A)$の影響を考慮すれば別の求め方で求めても良いと言うことでしょうか？

稚拙な日本語で分かり難いかと思いますが、回答宜しくお願いします。不備や意味のおかしい所などあれば、ご指摘下さい。