どなたか以下の和を計算していただけないでしょうか？

難しいです。。。

この式の無限級数や、あるいは

$\displaystyle \sum^n_{k=1} \dfrac{(k-1)n!}{n^k(n-k+1)!}$

の形なら求まるのですが

進捗は

$\displaystyle \sum^n_{k=1} \dfrac{(2k-1)(2n)!}{(2n)^{2k}(2n-2k+1)!}$

$\displaystyle \sum^n_{k=1}( \dfrac{(2n)!}{(2n)^{2k-1}(2n-2k+1)!}- \dfrac{(2n)!}{(2n)^{2k}(2n-2k)!})$

です。こうすると、$f(n)-f(n+\dfrac{1}{2})$の形になってしまって、結局和が求められませんでした。