解決済み @Arsenic 2023/11/12 10:59 1 回答 日本数学オリンピック(JMO2009)の問題に、以下を計算せよ。10+110−1+10+210−2+⋯+10+9910−99\dfrac{\sqrt{10+\sqrt{1}}}{\sqrt{10-\sqrt{1}}}+\dfrac{\sqrt{10+\sqrt{2}}}{\sqrt{10-\sqrt{2}}}+\cdots+\dfrac{\sqrt{10+\sqrt{99}}}{\sqrt{10-\sqrt{99}}}10−110+1+10−210+2+⋯+10−9910+99という問題があるのですが、この問題を書き換えるならば、∑k=19910+k10−k\sum_{k=1}^{99}\dfrac{\sqrt{10+\sqrt{k}}}{\sqrt{10-\sqrt{k}}}k=1∑9910−k10+kですが、 この問題の拡張版として、以下を評価せよ。∑k=1n10+k10−k\sum_{k=1}^{n} \dfrac{\sqrt{10+\sqrt{k}}}{\sqrt{10-\sqrt{k}}}k=1∑n10−k10+k∑k=1∞10+k10−k\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sqrt{10+\sqrt{k}}}{\sqrt{10-\sqrt{k}}}k=1∑∞10−k10+kという問題が出されたのです(by 友人S)が、どう解くべきでしょうか。 高校生数学数学Ⅲ高校生数学数学Ⅱ・B ベストアンサー @manimani1 2023/11/14 14:15 ∑\sum∑ の中の式を変形すると、∑k=1n10+k10−k=∑k=1nα+βα−β=∑k=1nα+β+2αβα−β=∑k=1n10−k100−k(α+β=20,αβ=k)\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sqrt{10+\sqrt{k}}}{\sqrt{10-\sqrt{k}}}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\alpha+\beta+2\alpha\beta}{\alpha-\beta}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{10-\sqrt{k}}{\sqrt{100-k}} \\ \left( \alpha+\beta=20 , \alpha\beta=k \right)k=1∑n10−k10+k=k=1∑nα−βα+β=k=1∑nα−βα+β+2αβ=k=1∑n100−k10−k(α+β=20,αβ=k)となるので n≤99n\leq99n≤99 じゃないとだめな気がします;; 返信(2件) @ARCCOTANGENT 2023/11/15 0:43 やはりこれ無理ですよね､､､。僕も一度計算してたんですけど，無理な感じになっちゃって､､､ @Arsenic 2023/11/16 8:21 ありがとうございます!! 質問者からのお礼コメント ありがとうございます!大変助かりましたなんかあまりスっと解けなかったのですが、よく理解できました。 シェアしよう！ そのほかの回答（0件）
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なんかあまりスっと解けなかったのですが、よく理解できました。