日本数学オリンピック(JMO2009)の問題に、

以下を計算せよ。$$\dfrac{\sqrt{10+\sqrt{1}}}{\sqrt{10-\sqrt{1}}}+\dfrac{\sqrt{10+\sqrt{2}}}{\sqrt{10-\sqrt{2}}}+\cdots+\dfrac{\sqrt{10+\sqrt{99}}}{\sqrt{10-\sqrt{99}}}$$

という問題があるのですが、この問題を書き換えるならば、$$\sum_{k=1}^{99}\dfrac{\sqrt{10+\sqrt{k}}}{\sqrt{10-\sqrt{k}}}$$

ですが、

この問題の拡張版として、

以下を評価せよ。

$$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{\sqrt{10+\sqrt{k}}}{\sqrt{10-\sqrt{k}}}$$

$$\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sqrt{10+\sqrt{k}}}{\sqrt{10-\sqrt{k}}}$$

という問題が出されたのです(by 友人S)が、どう解くべきでしょうか。