積分の問題に関してです。次の問題の解説をお願いします。一応自分でも解きました。 $n$を負でない整数として積分$$I

Question

積分の問題に関してです。
次の問題の解説をお願いします。
一応自分でも解きました。

$n$を負でない整数として積分$$I_n=\int_{1}^{e} \dfrac{\left(\log x\right)^n}{x^2} \ dx$$を考えます。
$\left(1\right)$ $I_n$は単調減少であることを示せ。
$\left(2\right)$ $a_n= \dfrac{I_n}{n!}$として、$a_{n+1}$を、$n$と$a_n$を用いて表せ。ただし、$0!=1$とする。
$\left(3\right)$ 任意の正の整数$n$に対して次の不等式が成り立つことを示せ。$$ \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!} \lt e \lt \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}+ \dfrac{1}{n \cdot n!}$$
よろしくお願いいたします。
初めての投稿になります。

Enigmathematics · Accepted Answer

積分の問題ありがとうございます。

$(1)$は被積分関数に着目すれば簡単に示せそうです。

$1≦x≦e$において、$0≦\log x≦1なので　n=0も含めて$
$(\log x)^n>(\log x)^{n+1}$と言える。さらに$\dfrac{1}{x^2}≧0$より
$$\int _{1}^{e} \dfrac{(\log x)^n}{x^2}dx>\int _{1}^{e} \dfrac{(\log x)^{n+1}}{x^2}dx$$
と考えられるので、
$$I_{n}>I_{n+1}　となり単調減少が示される。$$

$(2)$は部分積分で簡単に出します。
$$\int _{1}^{e} \dfrac{(\log x)^{n+1}}{x^2}dx=\left[- \dfrac{(\log x)^{n+1}}{x} \right]_{1}^{e}+(n+1)\int _{1}^{e} \dfrac{(\log x)^n} {x^2}dx$$
したがって、
$$I_{n+1}=(n+1)I_n-\dfrac{1}{e}$$
両辺を$(n+1)!$で割ることにより
$$∴a_{n+1}=a_n-\dfrac{1}{e(n+1)!}$$

$(3)$は長くなりそうなので別途で送らせてもらいます、すみません🙇

補足: 解答遅くなって申し訳ないです

積分の問題に関してです。

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