積分の問題に関してです。次の問題の解説をお願いします。一応自分でも解きました。 $n$を負でない整数として積分$$I

Question

積分の問題に関してです。

次の問題の解説をお願いします。

一応自分でも解きました。

$n$ を負でない整数として積分 $I_n=\int_{1}^{e} \dfrac{\left(\log x\right)^n}{x^2} \ dx$ を考えます。

$\left(1\right)$ $I_n$ は単調減少であることを示せ。

$\left(2\right)$ $a_n= \dfrac{I_n}{n!}$ として、 $a_{n+1}$ を、 $n$ と $a_n$ を用いて表せ。ただし、 $0!=1$ とする。

$\left(3\right)$ 任意の正の整数 $n$ に対して次の不等式が成り立つことを示せ。 $\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!} \lt e \lt \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}+ \dfrac{1}{n \cdot n!}$

よろしくお願いいたします。

初めての投稿になります。

@Enigmathematics · Accepted Answer

積分の問題ありがとうございます。  $(1)$は被積分関数に着目すれば簡単に示せそうです。　  $1≦x≦e$において、$0≦\log x≦1なので　n=0も含めて$ $(\log x)^n>(\log x)^{n+1}$と言える。さらに$\dfrac{1}{x^2}≧0$より $$\int _{1}^{e} \dfrac{(\log x)^n}{x^2}dx>\int _{1}^{e} \dfrac{(\log x)^{n+1}}{x^2}dx$$ と考えられるので、 $$I_{n}>I_{n+1}　となり単調減少が示される。$$  $(2)$は部分積分で簡単に出します。 $$\int _{1}^{e} \dfrac{(\log x)^{n+1}}{x^2}dx=\left[- \dfrac{(\log x)^{n+1}}{x} \right]_{1}^{e}+(n+1)\int _{1}^{e} \dfrac{(\log x)^n} {x^2}dx$$ したがって、 $$I_{n+1}=(n+1)I_n-\dfrac{1}{e}$$ 両辺を$(n+1)!$で割ることにより $$∴a_{n+1}=a_n-\dfrac{1}{e(n+1)!}$$  $(3)$は長くなりそうなので別途で送らせてもらいます、すみません🙇  補足: 解答遅くなって申し訳ないです