数学の質問です。

一橋の問題にこんなのがあったと思います。原題はもう少し捻られてますが、出題者がようは聞きたいのはこれを示せるかどうかでした。これを示すには、シグマの和が負であることを言うのに、各項が負であることを示そうと思わないと思いつきにくい式変形をするのでやっぱり意識が大事だなと思いました、

ちなみにこの問題はやさしい理系数学(河合出版)で見ました。友達の東進のテキストにも載ってました。

問題もうる覚えですから解かないでくださいね

また、コンビネーションのrが0以上n以下であることは自明だと思うのでその範囲でコンビネーションは0より大きいと言いたいのだと思います。

→やっぱりそうなんですね。でも、何も言わずに$r$を登場させることって大丈夫なんですか？

また、nが1だとシグマの下よりも上の方が小さくなってしまいます。「nが2以上の時、」でいいと思うんですけど、、

でも、なんでnを3以上にしたのかはよくわかりません。この不等式はn=2でも成り立ちますよね？僕の計算力が相当乏しくなければ。

→私もそれは思いましたｗ実は、この問題は大問の中の1題で、次の問題では、nが3以上じゃないといけないんです。恐らく、出題者は2回書くのがめんどくさくなって、纏めたんじゃないかと思います。

個人的な感覚ですが、各項が正だからその和も正になる、というのは書くべきかと思います。なので必要だと思います。

→あー、そういうことを言いたかったんですね～。でも、$\sum_{k=2}^n{}_n\mathrm{C}_k1^{n-k}(\frac{1}{n})^k\gt0$であることは示したのに、$\sum_{k=0}^1{}_1\mathrm{C}_k1^{1-k}(\frac{1}{1})^k\gt0$であることは示さなくて良いんですか？

そもそも全ての項が正であることを言いたいのであれば、${}_n\mathrm{C}_k\gt0$、$1^{n-k}\gt0$、$(\frac{1}{n})^k\gt0$であることを言えば良いんじゃないでしょうか？なんでわざわざ$k$が$2$から$n$だと$0$以上であると言う風に書いて居るのでしょうか？$k$が$0$から$1$の時は考慮しないんですか！？

rについて。私なら(r=0、1、2、、、、)と書きます。

模範解答では、k=0の場合とk=1の場合は示すまでもなく、計算して、「2」であると出しています。

解答の頭のプロセスとしては、「二項定理で展開するといずれかの和が2かそれより大きいんだろうなぁ、、あ、計算するとたったの2項目までで証明できんじゃん、あとは他の項は正であること言えば証明は完了だな」って感じです

kが2からn-1までの和が正だと言っても、n番目でとてつもなくでかい負の値が来たらいけないのでちゃんとハジカラハジ(2からn)までにしてると思います。

理解できました！因みに$k$が$2$から$n$の時、和が$0$以上であることは自明ではだめなんですか？自分は示すまでのことでもないと思うのですが、、、

たしかにその点は難しいところではありますが、私なら、

下のように書きます。正直なところこれで十分です。

(本当に正なのかどうか怪しいところはちゃんと証明が入りますが。例えば実数関数で微分して増減調べて正とやっと言えるとか)

分かりました！ありがとうございます！