解決済み

円の接線の方程式について

円が2つあって方程式はそれぞれC1:x^2+y^2=1,C2:(x-5)^2+y^2=4で、どっちにも接する接線の方程式を求めるのですが、

円との接点の座標を、小さい方の円→(a,b)、大きい方の円→(c,d)と置いて、

接線の方程式の公式使って係数比較でやってみたんですが、接点のy座標が同じというあり得ない答えになります。(画像参照)何が間違ってるのでしょうか?

ちなみに正解は画像二枚目のような方程式です。

ベストアンサー

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同じ直線を表す2つの方程式の係数が一致するというのは誤りで、正しくは「係数比」が一致するです。

簡単な例で言うと、

y=x2y=2xy=x \\2y=2x

の2つの直線は、係数は異なりますが同じ直線を表していますね。こういうことです。


今回だと、直線 ax+by=1ax+by=1 と、直線 (c5)x+dy=5(c5)+4(c-5)x+dy=5(c-5)+4 が一致するので、

a:(c5)=b:d=1:(5c21)a:(c-5)=b:d=1:(5c-21)

が立式でき、これを満たす実数の組 (a,b,c,d)(a,b,c,d)を探せばよいということになります。


ちなみに余談ですが、円の接線が出てくる問題では、まずは「中心と接線の距離が半径と等しい」を使うことを考えましょう。


今回では、円 C1C_1 の接線は、その接点の座標を (a,b)(a,b) とすると ax+by=1ax+by=1 となり、この直線と円 C2C_2 の中心 (5,0)(5,0) との距離を考えて、

5a1a2+b2=2\dfrac{|5a-1|}{\sqrt{a^2+b^2}} = 2

とするとこの直線は円 C2C_2 にも接する。


これで計算量は大幅に減らせます。

返信(2件)

回答有り難うございます。他の回答者の方も、ありがとうございます。


係数比較は比が同じというだけでイコールではないということがわかりましたが、

複素数のときは例えば

a+bi=c+diの時に、a=c,b=d


とやると思うのですが、これはなんでオッケイなのでしょうか?

それは x+yix+yi の形で表されている複素数は、x+yix+yi の形以外に表しようがないからです。

今回の問題は方程式ですから、同じものを表していても異なる表記の仕方があります。


数はただ一通りにしか表せないが、式には何通りもの表し方があるということです。

そのほかの回答(1件)

単純なyyの係数比較からb=db=d、というのが間違いです。

y=y=の式に直してから係数比較しましょう。

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