円の接線の方程式について

同じ直線を表す２つの方程式の係数が一致するというのは誤りで、正しくは「係数比」が一致するです。

簡単な例で言うと、

$$y=x \\2y=2x$$

の２つの直線は、係数は異なりますが同じ直線を表していますね。こういうことです。

今回だと、直線 $ax+by=1$ と、直線 $(c-5)x+dy=5(c-5)+4$ が一致するので、

$$a:(c-5)=b:d=1:(5c-21)$$

が立式でき、これを満たす実数の組 $(a,b,c,d)$を探せばよいということになります。

ちなみに余談ですが、円の接線が出てくる問題では、まずは「中心と接線の距離が半径と等しい」を使うことを考えましょう。

今回では、円 $C_1$ の接線は、その接点の座標を $(a,b)$ とすると $ax+by=1$ となり、この直線と円 $C_2$ の中心 $(5,0)$ との距離を考えて、

$$\dfrac{|5a-1|}{\sqrt{a^2+b^2}} = 2$$

とするとこの直線は円 $C_2$ にも接する。

これで計算量は大幅に減らせます。