解決済み

(2)でどこが間違ってますか?

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(*)の計算ミスですね。

PQundefined2=(k1)2+(k+2Y)2+(k+3)2=F(k,Y)\begin{align*}|\overrightarrow{PQ}|^2&=\sqrt{(k-1)^2+(-k+2-Y)^2+(-k+3)^2}\\&=\sqrt{F(k,Y)}\end{align*}

とすれば、

F(k,Y)=(k1)2+(k+2Y)2+(k+3)2=(k22k+1)+{k22k(2Y)+(2Y)2}+(k26k+9)=3k22k{1+(2Y)+3}+{1+(2Y)2+9}=3k22k(6Y)+{(2Y)2+10}=3(k6Y3)23(6Y3)2+{(2Y)2+10}=3(k6Y3)2{3612Y+Y23(44Y+Y2)10}=3(k6Y3)2(3612Y+Y2)3(44Y+Y2)303=3(k6Y3)22Y263=3(k6Y3)2+23Y2+2\begin{align*}F(k,Y)&=(k-1)^2+(-k+2-Y)^2+(-k+3)^2\\&=(k^2-2k+1)+\{k^2-2k(2-Y)+(2-Y)^2\}+(k^2-6k+9)\\&=3k^2-2k\{1+(2-Y)+3\}+\{1+(2-Y)^2+9\}\\&=3k^2-2k(6-Y)+\{(2-Y)^2+10\}\\&=3\left(k-\dfrac{6-Y}{3}\right)^2-3\left(\dfrac{6-Y}{3}\right)^2+\{(2-Y)^2+10\}\\&=3\left(k-\dfrac{6-Y}{3}\right)^2-\left\{\dfrac{36-12Y+Y^2}{3}-(4-4Y+Y^2)-10\right\}\\&=3\left(k-\dfrac{6-Y}{3}\right)^2-\dfrac{(36-12Y+Y^2)-3(4-4Y+Y^2)-30}{3}\\&=3\left(k-\dfrac{6-Y}{3}\right)^2-\dfrac{-2Y^2-6}{3}\\&=3\left(k-\dfrac{6-Y}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}Y^2+2\\\end{align*}


F(k,Y)F(k,Y)k=6Y3k=\dfrac{6-Y}{3}で最小値23Y2+2\dfrac{2}{3}Y^2+2をとる。

23Y2+2\dfrac{2}{3}Y^2+2Y=0Y=0で最小値22をとる。


よってF(k,Y)F(k,Y)Y=0,k=2Y=0,k=2で最小値22をとる。

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