13.のtoo busyで精一杯という意味なのでしょうか？

13. be busy ...ing で「...するのに忙しい」という意味です。ここではbusyにtooが付いているので、「...するのに忙しすぎる」というのが直訳となります。「精一杯」というのは、tooの意味をくみ取った意訳です。

14. ここでは new を「経験したことのない」とか「今までにない」と意訳していますが、シンプルに「新しい」という意味です。limitationは「制限」、mobilityは「動きやすさ、可動性」という意味です。「動きやすさにおける新しい制限」が直訳ですが、日本語としてはやや不自然ですね。「経験したことのない不自由さ」というのは文脈をくんで意訳したものです。

17. succeedの意味は「成功する」でよいです。「うまく切り抜ける」は意訳です。

18. ここでは day by dayがひとかたまりで形容詞句になっているところがポイントです。I was ... proud of my progress の progress を day by day が修飾しており、my day by day progress で「私の日ごとの進歩」。proud of ... は「...を誇りに思う」なので、「私は自分の日ごとの進歩を誇りに思った」というのが直訳になります。

19. contactは「つながり、接触、連絡」などを意味する頻出単語ですが、文脈に応じて適切に日本語に訳すのは意外と難しいかもしれません。この例では「やりとり」と訳してあり、文脈を考えれば適切な訳といえます。あえて直訳すれば、「私の、医師たち・リハビリの専門家たち・親しい友達・家族とのつながり」ということになります。

20. specialist は「専門家」という意味であって、常に「先生」と訳せるわけではないので、specialist = 先生、と覚えないように注意してください。この例では日本語としての自然さを重視し「リハビリの先生」と意訳してあるだけです。