京大入試終えてきました。今年の京大数学では、なんとか予想に関係する問題があったそうですが、どの問題でしょうか。また、未

Question

京大入試終えてきました。

今年の京大数学では、なんとか予想に関係する問題があったそうですが、どの問題でしょうか。また、未解決問題だと思うのですが、その問題で示したことから、どのようなことが言えるのでしょうか。なぜか気になってきました。よろしくお願いします。

大問4か6かな？とは思いますが、、

cf)関係ないですが、、、

数学はこのサイトの皆様のおかげで160点(自己採点ですが)とることができました。

本当にありがとうございます。２番だけ方針間違えて時間食っちゃって諦めちゃったんですよね、、悔しいです。。

@ontama_udon · Accepted Answer

第4問がコラッツ予想に似ていますね。

コラッツ予想の主張は

「すべての自然数 $n$ に対して、偶数なら $2$ で割る、奇数なら $3$ をかけて $1$ を足すという操作を繰り返すと $1$ になる」です。

実際に証明しようとしてみると分かりますが、法則性を見つけるのすらめちゃくちゃ難しいです。

今回の問題では、奇数の時の操作が「 $3$ をかけて $1$ を足し、さらに $2$ で割る」のようになっていますが、奇数に $3$ をかけて $1$ を足すと必ず偶数になるので、その次の操作は $2$ で割るとなり、意味的には同じです。

$a_1,a_2,a_3,\cdots$ がすべて奇数ということは、繰り返される操作が「 $3$ をかけて $1$ を足し、 $2$ で割る」のみですから、数が増加していくことになります。

もし、数列 $\{a_n\}$ に奇数しか現れないような $a_0$ が存在すれば、この数は $1$ にはならず、コラッツ予想が反証されたということになります。