京大入試終えてきました。

二次試験お疲れ様です

第4問がコラッツ予想に似ていますね。

コラッツ予想の主張は

「すべての自然数$n$に対して、偶数なら$2$で割る、奇数なら$3$をかけて$1$を足すという操作を繰り返すと$1$になる」です。

実際に証明しようとしてみると分かりますが、法則性を見つけるのすらめちゃくちゃ難しいです。

今回の問題では、奇数の時の操作が「$3$をかけて$1$を足し、さらに$2$で割る」のようになっていますが、奇数に$3$をかけて$1$を足すと必ず偶数になるので、その次の操作は$2$で割るとなり、意味的には同じです。

$a_1,a_2,a_3,\cdots$がすべて奇数ということは、繰り返される操作が「$3$をかけて$1$を足し、$2$で割る」のみですから、数が増加していくことになります。

もし、数列$\{a_n\}$に奇数しか現れないような$a_0$が存在すれば、この数は$1$にはならず、コラッツ予想が反証されたということになります。