数学の質問です。曲線の方程式を微分する方法に就いてですが、例えば円の方程式を微分する時に、教科書では、$y$を$x$の

Question

数学の質問です。

曲線の方程式を微分する方法に就いてですが、例えば円の方程式を微分する時に、教科書では、 $y$ を $x$ の関数と考えて両辺を $x$ で微分すると〜と書いてありましたが、定義域内の或る $x$ に就いてそれに対応する $y$ が2つ存在することがあるので実際は円は $y$ を $x$ の関数ではないですよね？にも関わらず $y$ を $x$ の関数と考えて両辺を $x$ で微分することが出来るのはなぜでしょうか？ $y$ を $x$ の関数と考えて両辺を $x$ で微分して何も問題は起こらないのでしょうか？ $y$ を $x$ の関数と考えて両辺を $x$ で微分した時と円の方程式を2つの陽関数に分けて微分した時の導関数は確かに等しいですが、、、

回答宜しくお願いします。

補足

訂正

誤

実際は円は $y$ を $x$ の関数ではない

正

実際は円に就いて $y$ は $x$ の関数ではない

@ontama_udon · Accepted Answer

質問者さんの仰る通り、円の方程式は二つの陽関数に分けて微分しているんです。

より一般化して考えましょう。陰関数 $F(x,y)=0$ を $y$ について解いて得られる関数 $f_1(x),f_2(x),f_3(x)...$ をそれぞれ、 $y_1,y_2,y_3,...$ とします。これらは $F(x,y_1)=0,F(x,y_2)=0,F(x,y_3)=0,...$ を満たし、さらに関数なのでそのままの形で $x$ について微分することができます。微分して出てきた導関数はそれぞれ、 $\dfrac{dy_1}{dx}=g(x,y_1),\dfrac{dy_2}{dx}=g(x,y_2),\dfrac{dy_3}{dx}=g(x,y_3),...$ という風に同じ形で出てくるので、まとめて $\dfrac{dy}{dx}=g(x,y)$ と書きます。