問題：複素数zが絶対値が1,z^3-zは実数,という条件を満たしているzの値と個数を求めよ。この問題について色々式変形

Question

問題：複素数zが絶対値が1,z^3-zは実数,という条件を満たしているzの値と個数を求めよ。

この問題について色々式変形すると、z^2+zの共役の二乗=0という式が出てくるんですが、ここでz=a+biとおくとa^2=b^2と出てきます。解答によるとこれは正しくないらしいんですがなにが違うのでしょうか。

@ontama_udon · Accepted Answer

$z^3-z \in \mathbb{R}$ より、 $z^3-z=\overline{(z^3-z)}$

ここで、 $|z|=1$ より $|z|^2=1$

$z\overline{z}=1$

$\overline{z}=\frac{1}{z}$

よって、 $z^3-z=\frac{1}{z^3}-\frac{1}{z}$

両辺 $z^3$ 倍して整理すると、

$z^6-z^4+z^2-1=0$

$(z^4+1)(z^2-1)=0$

$z^4+1=0またはz^2-1=0$

この式の $z^4+1=0$ を両辺 $z^2$ でわると、 $z^2+\overline{z}^2=0$ が得られます。