積分投稿!

$f(x)$ の原始関数を求めるのは難しそうだったので，留数定理を使います。

まず $g(s)$ について考えると，

$$\begin{aligned}\log g(s) &= \sum_{k = 1}^{\infty} \log(s + 2k - 1) - \log(s + 2k) \\ &= - \sum_{k = 1}^{\infty} \int_{s + 2k - 1}^{s + 2k} \frac{dx}{x} \\ &\leqq - \frac{1}{2} \int_{s + 1}^\infty \frac{dx}{x} = -\infty \\\therefore\ g(s) &= 0\end{aligned}$$

したがって積分区間の上端と下端は

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty h(t)dt = \pi, \quad \int_0^\infty g(s)ds = 0\end{aligned}$$

簡単のために $X = \cos^4 5x$ とおく。

$$\begin{aligned}& \int_0^\pi \sin^2(3x + X)dx \\&\quad\quad = \frac{1}{2}\int_0^\pi (1 - \cos(6x + 2X))dx \\&\quad\quad = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\int_0^\pi \cos(6x + 2X)dx\end{aligned}$$

$z = e^{2ix}$ と置換して，

$$\begin{aligned}& \int_0^\pi \cos(6x + 2X)dx \\&\quad\quad = \oint_{|z| = 1} \cos\left(\frac{3}{i}\log z + 2X\right)\frac{dz}{2iz} \\&\quad\quad = \frac{1}{4i}\oint_{|z| = 1} \frac{z^3e^{2iX} + z^{-3}e^{-2iX}}{z}dz \\&\quad\quad = \frac{\pi}{2} \mathbf{Res}\left(\frac{z^3e^{2iX} + z^{-3}e^{-2iX}}{z}, 0\right)\end{aligned}$$

ここで $w(z) := z^3e^{2iX} + z^{-3}e^{-2iX}$ を $z = 0$ を中心に級数展開して，$X = \dfrac{1}{16}z^{-10}(z^5 + 1)^4$ を代入すると，

$$w = \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!}\left(\frac{i}{8}\right)^k (z^{-10k + 3} + (-1)^k z^{-10k - 3})(z^5 + 1)^{4k}$$

この級数にあらわれる項の次数はすべて $-10k \pm 3 + 5j$（$0 \leqq j \leqq 4k$）の形をとるから，級数に $0$ 次の項はあらわれない。すなわち $\mathbf{Res}(w(z)/z,0) = 0$。

　以上から，

$$\int_0^\pi \sin^2(3x + \cos^4 5x)dx = \frac{\pi}{2}$$